第三讲分离变量法

.,第三讲分离变量法,分离变量法是求解线性偏微分方程定解问题的普遍方法之一，它适用于各种类型的偏微分方程。基本思想是将多元函数化为单元函数，将偏微分方程化为常微分方程进行求解。具体做法是首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界条件的解通过变量分离,将其转化为常微分方程的定解问题.为此，我们首先复习二阶线性常微分方程求解公式及傅里叶级数理论。,.,一、基础知识,.,2、傅立叶级数,若函数f(t)的周期为T=2L，则傅里叶展开式为,.,狄利克雷收敛定理：若函数在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点且在一个周期内至多只有有限个极值点，则1、当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值；2、当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。,.,二.有界弦的自由振动,例1.研究两端固定均匀的自由振动.,求解定解问题,特点:方程齐次,边界齐次.,.,设且不恒为零，代入方程和边界条件中得,由不恒为零，有：,取参数,.,.,利用边界条件,.,则,特征值问题,下面分三种情形讨论特征值问题的求解,函数X(x)称为特征函数。,.,由边值条件,(i)方程通解为,(ii)时，通解,由边值条件得：,C1=C2=0从而，无意义.,无意义,.,由边值条件：,从而,即：,(iii）时，通解,故,而,得,.,再求解T：,其解为,所以,叠加,.,.,代入初始条件得：,将展开为Fourier级数，比较系数得,定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在x0和x=l处的第一类齐次边界条件决定的。,.,则无穷级数解,为如下混合问题的解,.,解：令,得,化简:,引入参数得,例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.,第二类边界条件,.,得C1=C2=0从而，无意义,分离变量：,时，,由边值条件,.,(ii)时,(iii)时,则而,由边值条件,由边值条件,从而,.,本征值,本征函数,T的方程,其解为,.,所以,故,代入初始条件:,将展开为傅立叶余弦级数，比较系数得,.,三.有限长杆的热传导问题,对于齐次热传导方程的定解问题,其解题过程和波动方程的过程类似.所以下面的例题我们仅给出主要步骤.,.,其中为给定的函数.,例齐次热传导方程的定解问题,.,令,代入方程及边界条件中,并引入参数得,当或时,当时,由边界条件,.,从而,特征函数为：,.,T的方程,解得,所以,.,将叠加,利用初始条件确定系数,将初始条件,代入上式，得,所以系数,.,分离变量流程图,.,例细杆的热传导问题,长为的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热，端绝热，端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为求此杆的温度分布。,解：定解问题为,.,设且,得本征值问题,.,当或时,当时,由得,由得故,即,令,有,函数方程,.,图1,由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根,故本征值为：,.,对应的本征函数,的方程：,解为,故,可以证明,函数系在上正交,由初始条件得,.,（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解,（三）将特征值代入另一常微分方程，得到,（四）将叠加，利用初始条件确定系数,（一）将偏微分方程化为常微分方程,（方程齐次）,分离变量法解题步骤