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,第一章,一、自变量趋于有限值时函数的极限,第四节,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,机动目录上页下页返回结束,函数的极限,一、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数f(x)以A为极限的定义,机动目录上页下页返回结束,(1)当x与x0充分靠近(但,)时,f(x)与A可以任意靠近,要多近就能有多近.,(2)要f(x)与A多靠近,只须x与x0靠近(但,)到一定程度,后,就能多靠近.,(3)要|f(x)-A|多小,只须|x-x0|小到一定程度后(但,),就能有多小.,(4),使得当,时,定义1.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数A为函数,当,时的极限,或,即,当,时,有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,(P30性质2),这表明:,机动目录上页下页返回结束,例1.证明,证:,故,对任意的,当,时,因此,总有,机动目录上页下页返回结束,(P28例3),例2.证明,证:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,机动目录上页下页返回结束,例3.证明,证:,故,取,当,时,必有,因此,机动目录上页下页返回结束,(P29例4),当,时,机动目录上页下页返回结束,(P29例5),结论记住！,2.保号性定理,定理1.若,且A0,证略已知,即,当,时,有,当A0时,取正数,则在对应的邻域,上,(0),则存在,(A0),(P30性质3),机动目录上页下页返回结束,定理2.若在,的某去心邻域内,且,则,思考:若定理2中的条件改为,是否必有,不能!,如,机动目录上页下页返回结束,(P30推论1),3.左极限与右极限,左极限:,当,时,有,右极限:,当,时,有,定理3.,(P30定理2),机动目录上页下页返回结束,例5.设函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理3.,因为,显然,所以,不存在.,机动目录上页下页返回结束,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义2.设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线y=A为曲线,的水平渐近线,机动目录上页下页返回结束,A为函数,例6.证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,机动目录上页下页返回结束,(P27例1),直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.,两种特殊情况:,当,时,有,当,时,有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.函数极限的,或,定义及应用,2.函数极限的性质:,保号性定理,与左右极限等价定理,思考与练习,1.若极限,存在,2.
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