第三讲有效前沿与最优证券组合

.,第三讲,有效前沿与最优证券组合,.,有效前沿的定义：定义3.1设S是N种证券的选择集，如果其中存在一个子集F(p)，具有如下性质：1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的证券组合在S中具有最大的期望收益率。2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组合在S中具有最小的标准差（或方差）。则称F(p)为有效前沿（efficientfrontier），简称前沿（边界）。,.,3.1N种风险证券组合的有效前沿,（一）两种风险证券组合的有效前沿两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为a和b，方差和协方差分别为对任一组合p=(x，1-x)，x0，1，证券组合p的期望收益率和方差如下：,.,讨论证券组合P的有效前沿形状,1）2）3）,.,2种和3种风险证券的有效前沿,pB,pC,ab=-12ab=143,CD1B,AA,OpOp图3.1图3.2,.,例题,两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为a=4.6%和b=8.5%，方差和协方差分别为求这两种风险资产的有效前沿。,.,N种风险证券的有效前沿,p,Op图3.3,E,.,（二)N中风险证券组合泽的有效前沿,设市场上有N种风险证券，它们的收益率和方差为有限值，这些收益率的方差-协方差矩阵V为正定矩阵，N种证券的期望收益率为：N种证券组合P表示为：证券组合期望收益率和方差分别为,.,按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下规划问题：,.,构造拉格朗日函数一阶条件：,.,由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。,求解得,.,对于另一个指定的，在前沿上的证券组合为：,.,两个证券组合的协方差为令，则得前沿上的证券组合方差为：,.,A/CMVP,O(1/C)1/2p,.,32允许对无风险证券投资的有效前沿,无风险证券（例如国库券等）的期末收入是确定的。因此这种证券的方差为零，从而它和任何一种股票的协方差也为零。我们把无风险证券简称为债券。,.,一种风险证券和一种无风险证券,股票A和债券以记投入债券的比例，则是购买股票的比例。证券组合的期望收益率和标准差分别为：,.,一种风险证券和一种无风险证券,得证券组合的期望收益率和标准差的关系：,.,图3.5,B,A,C,。,O,.,两种股票A和B，及一种债券,有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线AB相切的射线,C,A,D,B,O,e,.,N种股票及一种债券,问题s.t构造拉格朗日函数：,.,一阶条件：,.,得证券组合的投资比例其中证券组合的方差为或,.,切点证券组合(tangencyportfolio),切点证券组合e的投资比例,.,切点的证券组合,.,3.3最优证券组合,N种风险证券的情形设投资者的效用函数为，并设和，下标1，2分别表示对U的第1，2个变元求导。意味着对给定的风险，投资者认为期望回报率越大越好。意味着对给定的期望回报率，投资者认为风险越小越好。,.,这时投资者的问题可表述为s.t,.,构造拉格朗日函数一阶条件,.,一阶条件变形得：从而得出：,.,把代回X中可得最优投资比例：,.,定理3.1当市场上只有风险证券时，任何投资者的最优证券组合都是由和的凸组合构成的。又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线和有效前沿的切点，故有：推论1任何效用无差异曲线和有效前沿的切点都是由和的凸组合构成的。有效前沿又可以看成由所有切点组成，因而有：推论2有效前沿上任何一点都是和的凸组合。,.,最优证券组合,存在无风险证券的情形设N种风险证券和一种债券，在风险证券上的投资比例为X，在无风险证券上的投资比例为（1XI），从而证券组合的期望收益率,.,证券组合的期望收益率投资者的问题可表示为：,.,一阶条件最优投资比例为在债券上的投资比例为(1X*I),.,定理3.2(两资金分离定理，two-fundseparation),当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切点证券组合构成。,.,计算方法与例题,切点e证券组合的计算方法,.,例3.1设风险