第3章-平面问题基本理论及有限元求解ppt课件

.,第3章平面问题基本理论及有限元法,机械与汽车工程学院SchoolofMechanicalandAutomobileEngineering,.,3-1平面应力问题与平面应变问题,在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体，它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体的形状和受力情况具有一定特点时，如果经过适当的简化和抽象处理，可以简化为弹性力学平面问题，将使计算工作量大为减少。,.,一、平面应力问题,图31,等厚度薄板，只在板边受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。,.,应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿z轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,图31,.,结论：,平面应力问题只剩下三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。,共六个应力分量,.,特征：,1)长、宽尺寸远大于厚度。,2)沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。,注意：平面应力问题z=0，但,.,二、平面应变问题,x,图32,如：挡土墙、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。,设有很长的柱体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。,.,厚壁圆筒,(1)几何特征,水坝,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。,近似认为无限长,(2)外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。,约束沿长度z方向不变化。,.,(3)变形特征,建立如图坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵向线为z轴。,设z方向为无限长，则,沿z方向都不变化，,仅为x、y的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,所有各点的位移分量都平行于xy平面。,也叫平面位移问题,.,水坝,平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中有四个应力分量：,仅为x、y的函数。,.,如图所示三种情形，是否属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,-空间问题,.,三.平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：,仅为x、y的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,应力与体力、面力间的关系；,应变与位移间的关系；,平衡微分方程,几何方程,.,（3）物理学关系：,应变与应力间的关系。,建立边界条件：,物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,（3）混合边界条件；,.,平面问题定义（总结）严格地讲，任何结构都是空间的对于某些特殊情况，空间问题可以转化为平面问题。1、平面应力问题满足条件：1）几何条件厚度尺寸远远小于截面尺寸2）载荷条件载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而板平面不受任何外力作用,.,此时，应力应变分量变为：几何方程物理方程,.,2、平面应变问题满足条件1）几何条件结构呈等截面的细长形2）载荷条件载荷垂直于厚度方向(平行横截面)且沿厚度均匀分布，两个端面不受力此时，,.,应力应变分量变为：物理方程,.,弹性力学的参量及方程汇总1）参量位移：应力：应变：2）方程平衡方程：几何方程：物理方程：,.,其中：,.,.,第二节平面问题的有限元法,.,平面问题的有限元分析步骤（平面应力问题）1、结构离散离散：将一个连续的弹性体分割为一定形状和数量的单元的组合单元也称为网格连续体有限个单元的组合体,.,可用于离散的单元三角形单元矩形单元不规则四边形单元DOF节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度单元参数只能通过节点传递到相邻单元单元和节点必须统一编号,.,2、单元分析（位移、应力、应变）任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程因此必须建立坐标系，如下图：,.,1）位移函数分片插值假设一种函数来表示单元位移分布一般选取多项式（简单而且易求导）对于三角形单节点单元（DOF=6）,.,（系数矩阵）三角形面积,.,克莱姆法则,.,代数余子式（行）,.,某一列各元素与其代数余子式乘积之和,.,.,.,.,.,=0?,=0?,.,.,相邻单元的位移分别进行线性插值后，在公共边上将是连续的！,.,2)单元应力和应变将位移表达式（2-3）和（2-4）代入几何方程得：,B为常数矩阵，因此三角形三节点单元为常应变单元。,.,则应力向量可以表示为：D、B均为常数矩阵，因此三角形三节点单元为常应力单元。,.,3）单元刚度矩阵设作用在单元节点上的单元节点力列阵为：而节点发生的虚位移为：则节点力在虚位移上做的虚功为：,.,.,.,将（2-5）展开得：单元刚度矩阵的物理意义：在一个节点处产生单位位移而其他点为零时，在该节点上需要的外力的大小。,.,单元刚度矩阵的特性（1）对称性：（弹性力学互等定理）（2）奇异性：（刚体位移）,.,单元刚度矩阵的特性（3）单元刚度矩阵主对角元素恒为正值；（4）单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和为零，由此可知，单元刚度矩阵各行和各列元素的总和为零。,.,例4-1图示为一平面应力单元，厚度为t，求形函数矩阵、单元应变矩阵、单元应力矩阵和单元刚度矩阵。,.,3、总刚度矩阵的集成通过单元特性方程并不能求出单元节点位移。因为包含单元间的作用力。因此，必须将每个单元的特性方程相加消除内力的影响。这就是总刚度矩阵集成的目的。1）总刚集成原理在整个结构中，一个节点为几个单元共有在第i个节点处的平衡方程为：,.,.,.,例：总刚的形成过程,单元编号,节点编号,.,2）总刚度矩阵集成过程（1）扩阶过程（可由转换矩阵完成）（2）叠加过程：,.,总刚矩阵的特点：（1）对称性节省存储容量（2）稀疏性可能存在大量零元素（3）带状性半带宽与节点的编号有关（4）奇异性保证刚体位移（5）主对角元素恒为正值,.,半带宽B=（相邻节点号的最大差值D+1）*2,.,（2）变形体静力等效原则在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯一的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。在FEM中，采用变形体的静力等效原则。,4.载荷移置移置原则（1）刚体静力等效原则使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。,.,.,4、载荷移置移置可能在局部产生误差，但不会影响整个结构的力学特性。1）集中力的移置（虚功等效）,见教材P70推导,作用于单元上的载荷移植到节点上，乘以形函数矩阵,.,.,2）面力的移置,.,3）体力的移置,.,.,5、约束处理1）边界位移为零,.,2）边界位移为已知量,.,6、求解线性方程组7、计算其它物理量8、计算结果处理9、结果显示、打印、分析,.,收敛准则分析位移函数应该满足以下几个条件（1）包括常数项（保证刚体位移）（2）包括一次项（保证常应变）（3）保证位移的连续性（形函数性质3保证）（4）各项几何同性（x,y应该是可以互换的）,.,满足上述三个条件的目的是满足有限元的收敛性（1）和（2）是收敛的必要条件完备性条件（3）是收敛的充分条件协调条件注意：非协调单元的解不一定不收敛右图为巴斯卡三角形：左右两侧对称选取；项数=单元节点自由度。,.,算例分析,.,例4-2,图4.26所示为一厚度t=1cm的均质正方形薄板，上下受均匀拉力q=106N/m，材料弹性模量为E，泊松比，不记自重，试用有限元法求其应力分量。,.,解：,.力学模型的确定,.结构离散,由于此结构长、宽远大于厚度，而载荷作用于板平面内，且沿板厚均匀分布，故可按平面应力问题处理，考虑到结构和载荷的对称性，可取结构的1/4来研究。,该1/4结构被离散为两个三角形单元，节点编号，单元划分及取坐标如图4.27所示，其各节点的坐标值见表4.1。,.求单元的刚度矩阵,计算单元的节点坐标差及单元面积单元（i、j、m1，2，3）,.,计算各单元的刚度矩阵先计算用到的常数,代入可得:,.,所以单元1的刚度矩阵为:,1,2,3,1,2,3,.,由于单元2若按341对应单元1的123排码时,则这两个单元刚度矩阵内容完全一样，故有:,3,4,1,3,4,1,.,组集整体刚度矩阵,由于Krs=KsrT，又单元1和单元2的节点号按123对应341，则可得：,按刚度集成法可得整体刚度矩阵为：,.,.,所以组集的整体刚度矩阵为：,.,约束条件为：u1=v1=0，v2=0，u4=0等效节点力列阵：F=00000q/20q/2T代入整体刚度方程：,5.建立有限元方程并求解,.,节点位移为：,.,先求出各单元的应力矩阵S1、S2，然后再求得各单元的应力分量：,6.计算各单元应力矩阵，求出各单元应力,单元应力可看作是单元形心处的应力值。,.,例4-3,图4.28所示为一平面应力问题离散化以后的结构图，其中图（a）为离散化后的总体结构，图（b）为单元1，2，4的结构，图（c）为单元3的结构。用有限元法计算节点位移、单元应变及单元应力（为简便起见，取泊松比，单元厚度t=1）。,x,y,1,2,3,4,6,5,1,2,3,4,图4.28平面薄片悬臂梁,.,首先求确定各单元刚度所需的系数及面积A，对于单元1，2，4有：,解：,对于单元3有:,.,其次，求出各单元的单元刚度矩阵。对于1，2，4单元，其单元刚度矩阵为：,i,j,m,i,j,m,.,各单元的节点编号与总体结构的总编号之间的对应关系见表4.3。,对于单元3，