第章--近独立粒子的最概然分布PPT课件

.,1,6.1粒子运动状态的经典描述,粒子是指组成宏观物质系统的基本单元。粒子的运动状态是指它的力学运动状态。,如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。,如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。,.,2,设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q1、q2、qr和相应的r个广义动量p1、p2、pr在该时刻的数值确定，粒子能量是其广义坐标和广义动量的函数，即,一.经典描述,更一般表述为在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成H（哈密顿）函数，即粒子的运动满足正则运动方程,.,3,当某一初始时刻t0给定了qi、pi的初值qi0、pi0之后，由正则运动方程可确定在任何相继时刻t，qi、pi的数值，因而这个力学系统的运动状态就完全确定了。所以一组qi、pi数值确定这个系统的一个运动状态，这样所确定的运动状态把每个粒子的运动状态都完全确定了。这就是微观运动状态。,空间:用q1、q2、qr，p1、p2、pr为直角坐标构成一个2r维空间，这个空间称为空间。空间任何一点代表力学体系一个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在空间中移动，描画出一条轨迹称为相迹。,.,4,二.几个例子,1.自由粒子,自由度：r=3空间维数：6,广义坐标：,广义动量：,动能：,相迹：以一维为例,.,5,2.一维线性谐振子,onedimensionlinearharmonicoscillator,质量为m的粒子在弹性力f=-Ax作用下，将在原点附近做圆频率为的简谐振动，称为线性谐振子,自由度：r=1空间维数：2,广义坐标：,广义动量：,能量：,相迹：以x,p为直角坐标，可构成二维的空间。若给定能量，代表点的轨道是如下椭圆：,.,6,.,7,3.转子rotator,考虑质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点O时所作的运动。,直角坐标下，能量,用球坐标表示,.,8,因为r不变,转子是这样一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴的空间方位角确定。,自由度：r=2空间维数：4,广义坐标：,广义动量：,动能：,.,9,双原子分子的力学模型,将双原子分子看作一根细棒的两端联结着质量为m1和m2的两个质点绕其质心的转动。然后将两体问题转化为单体问题。即将公式里的m换成约化质量：,根据经典力学，在没有外力作用的情况下，转子的总角动量是一个守恒量，其大小和方向都不随时间改变。由于r垂直于M，质点的运动是在垂直于M的平面内的运动。如果选M的方向为z轴，则必在xy平面内运动。这时,双原子分子转轴过质心且垂直于二原子核连线。,.,10,6.2粒子运动状态的量子描述,一.量子描述,1.微观粒子具有波粒二象性,法国物理学家德布罗意于1924年提出一个假说，认为一切微观粒子都具有波粒二象性，并把标志波动性质的量和k通过一个普适常数用标志粒子性质的和p联系起来。,德布罗意关系,普朗克常数称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别采用经典描述或量子描述的判据。,.,11,2.测不准关系,测不准关系,and,（严格的,这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，是微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用量子态（波函数）或量子数来描述的。量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度数。,继德布罗意之后，1927年，海森堡在研究粒子和波动的二象性时，得到一个重要的结果：微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。即用q表示粒子坐标的不确定值和p表示粒子动量不确定值，在量子力学所容许的最精确的描述，q与p的乘积满足,.,12,二.几个例子,1.自旋(spin),质量:,电荷：,自旋角动量量子数：1/2,自旋磁矩：,自旋角动量：,沿z方向加外磁场B，角动量S在z方向上有两个独立分量,自旋磁矩和势能为,描述自旋状态只要一个量子数,.,13,2.线性谐振子,能级非简并,Whatabout3D?,3.转子,量子理论要求角动量平方和角动量z分量是量子化的,自由度为2，等于量子数个数：,转子能量：,基态能级非简并，激发态简并，简并度为2l+1,Degenerate!,.,14,4.自由粒子,根据周期性边界条件,3维3个量子数：,基态能级非简并，激发态简并,.,15,三.粒子的状态与空间体积元的对应关系,由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所以量子态不能用空间的一点来描述，而应用一个体积元，称为相格。自由度为r的粒子，相格大小为：,如果将空间划分为若干个体积元l（l=1，2），则在体积元l中粒子可能的状态数为l/hr。,.,16,四.自由粒子的量子态数,根据粒子的状态与空间体积元的对应关系,三维自由粒子的一个状态对应于空间中体积为h3的一个体积元，以V表示容器的体积，在体积V内，在px到px+dpx，py到py+dpy,pz到pz+dpz内，对应空间中体积元Vdpxdpydpz,三维自由粒子可能的状态数为：,一般常用动量空间中的球极坐标p,，来描写自由粒子的动量,p,与px、py、pz的关系为：,；,用球极坐标，动量空间的体积元为：,.,17,在体积V内，动量在p到p+dp,到+d,到+d,自由粒子可能的状态数为：,D()表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。以上的计算没有考虑粒子的自旋，如果粒子的自旋不等于零，还要考虑自旋的贡献。,在体积V内，动量绝对值在p到p+dp的范围内，自由粒子可能的状态数为：,以能量形式表示，即,因此在V内，在的范围内，自由粒子可能的状态数为：,.,18,6.3系统微观运动状态的描述,全同的粒子系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统，如自由电子组成的自由电子气体是全同的粒子组成的系统。,理想气体就是由近独立的粒子组成的系统。,近独立粒子体系，是指粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和：,.,19,相依粒子体系又称为非独立粒子体系，体系中粒子之间的相互作用不能忽略，体系的总能量除了包括各个粒子的能量之和外，还包括粒子之间的相互作用的位能，即：,一.系统微观运动状态的经典描述,全同粒子是可以分辨的（经典中）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。如图6.4,2Nr个变量来确定。,系统微观状态由所有粒子的微观运动状态决定。,.,20,任意交换一对粒子的不同运动状态得到新的系统微观状态。,确定系统的微观状态必须指出各粒子占据的相格。,.,21,二.系统微观运动状态的量子描述,1.微观粒子全同性原理,全同粒子是不可分辨的,图6.5,对于不可分辨的全同粒子，确定系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。,.,22,2.玻色子(bose)和费米子(fermi),玻色子：即自旋量子数是整数的。如光子自旋量子数为1、介子自旋量子数为0，是玻色子。,费米子：即自旋量子数为半整数的。如电子、质子、中子等自旋量子数都是1/2，是费米子。,不可分辨性导致对称性要求,玻色子：交换对称,费米子：交换反对称,.,23,3.三类系统,凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。,如：4He是玻色子，3He是费米子,费米子和玻色子遵从不同的统计规律。,玻尔兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制。,玻色系统：由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。,费米系统：由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成，受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子的系统。,.,24,举例说明,设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果这两个粒子是定域子、玻色子、费米子时，试分别讨论系统各有那些可能的微观状态？,微观粒子还受到空间的限制，因而分为定域的和非定域的，定域系统可用粒子的位置来分辨粒子，对于非定域系统，必须考虑微观粒子的全同性原理。,.,25,玻尔兹曼系统,玻色系统,费米系统,9个,个,个,.,26,经典统计物理学：在经典力学基础上建立的统计物理学,量子统计物理学：在量子力学基础上建立的统计物理学,两者在统计原理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述。,在一定的条件下，可以由量子统计得到经典统计的结果。,.,27,6.4等概率原理,平衡态统计物理的基本假设等概率原理,一.宏观状态和微观状态的区别,宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如，,微观状态：由广义坐标和广义动量或一组量子数表示。,为了研究系统的宏观性质，没有必要实际上也没有可能追随微观状态的复杂变化。只要知道各个微观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。因此确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。,.,28,玻耳兹曼在19世纪70年代提出了著名的等概率原理：对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。,二.等概率原理,既然这些微观状态都同样满足具有确定N、E、V的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些。这些微观状态应当是平权的。,等概率原理是统计物理学中的一个合理的基本假设。它不能从更基本的原理推出，也不能直接从实验上验证。它的正确性由它推出的各种结论与客观实际相符而得到肯定。,.,29,必须计算每个宏观态的微观态数。,宏观态由热力学量决定，如,等。或,。,微观态的标定，指定量子态，确定粒子对量子态的分布，改变分布，获得所有的微观态。,态1,态2,态3,A,A,A,A,费米统计,A,A,微观态数：3,引言,6.5分布和微观状态,.,30,一.分布,能级简并度粒子数,一系统，全同近独立，具有确定的，,分布,满足：,分布确定了每个能级上的粒子数,.,31,二.分布和微观状态的区别,分布只确定了每个能级上的粒子数,微观状态：对于玻色和费米系统，要求确定每个量子态上的粒子数；对于玻尔兹曼系统，要求确定每一个粒子的个体量子态。,给定了一个分布，只能确定处在每一个能级上的粒子数，能级的简并度为，它与微观状态是两个性质不同的概念。微观状态是粒子的运动状态，它反映的是粒子运动特征，即量子态。粒子占据量子态的不同方式数叫做微观状态数。就一个确定的分布而言，与它相应的微观状态数是确定的。不同的分布，有不同的微观状态数。定域系：确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子态。非定域系：确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数。,.,32,3个可分辨粒子占据2个能级（）的分布与微观状态,.,33,3个可分辨粒子占据2个能级（）的分布与微观状态,.,34,3个可分辨粒子占据2个能级（）的分布与微观状态,.,35,3个玻色子占据2个能级（）的分布与微观状态,.,36,3个费米子占据2个能级（）的分布与微观状态,3个费米子占据2个能级（）的分布与微观状态,.,37,三.三种统计的微观状态数,下面我们将分别讨论玻耳兹曼系统(定域系统)、玻色系统、费米系统与一个分布相对应的系统的微观状态数。,就一个确定的分布而言，与它相应的微观状态数是确定的。不同的分布，有不同的微观状态数。如前例。,.,38,例如：3个可分辨粒子，2个能级，某分布为,2个编了号的粒子占据能级1的2个量子态的方式有4种：,1个编了号的粒子占据能级2的1个量子态的方式有1种：,3个粒子交换数是3!=6,323121,同一态上粒子交换，不产生新的微观状态，交换数为：,该分布对应的微观状态数为：12,121221,.,39,2.玻色系统,粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。,3.费米系统,粒子不可分辨，每个个体量子态最多只能容纳一个粒子。,.,40,分布对应的微观态数,A.玻耳兹曼系统（定域系统）（玻耳兹曼分布）,粒子可以编号。,确定，只有移动和交换粒子可能改变系统的微观态；,例如,a.移动：,个粒子在,个量子态中不同放置导致不同微观态。,.,41,b.交换：不同的能级之间的粒子交换导致新的微观态。,N个粒子的总交换数N!,改变微观状态的粒子交换的有效次数：,个粒子在,个量子态中放置的不同方式的数目,所以分布对应微观态数,同能级内粒子交换总数,。,.,42,B.玻色分布,粒子不可区分，每量子态的粒子数不限。,不动,量子态与粒子交换导致不同微观态.,不动,量子态与粒子交换总数,量子态交换数,粒子交换数,.,43,C.费米分布,个量子态中选个，每个置一个粒子的方法。,粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。,.,44,式（6.5.5）称为经典极限条件，也称非简并性条件。经典极限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。,如果在玻色系统和费米系统中，任一能级l上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即,此时有：,经典极限条件,.,45,空间,足够小，处在同一相格内的代表点，代表相同的运动状态。,四.经典统计中的分布和微观状态数,对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设，这时经典系统的一个运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小为,表示经典系统的一个微观状态在空间所占的体积，称为经典相格。,相格对应运动状态,.,46,将空间划分为许多体积元，以表示运动状态处于内的粒子所具有的能量。内粒子的运动状态数为,N个粒子的分布可描述为,体积元简并度能量粒子数,.,4