第七节-方向导数与梯度PPT课件

.,1,8.7方向导数与梯度,一、方向导数的概念,二、梯度的定义和方向导数的计算,三、小结思考题,.,2,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、方向导数定义与计算公式,实例,.,3,一元函数,右导数,或左导数,(只能从右侧或左侧),所以一元函数只有,二元函数,(可以从任意方向),所以二元函数有无穷多方向导数,回忆,.,4,1.方向导数的定义,即,定义,如果极限,存在,则将这个极限值称为函数在点,.,5,记为,即,.,6,的方向导数存在,存在,则,的方向导数存在,方向导数与偏导数的关系,同理,.,7,的方向导数为,的方向导数,.,8,证,2.关于方向导数的存在及计算公式,定理8.7(充分条件),可微,则函数,且,.,9,.,10,(2)在定点,的方向导数为,方向导数存在,可微,说明,(1),.,11,例考虑函数定点P0(3,1),P1(2,3).求函数在P0沿方向的方向导数.,解,.,12,解,(1)最大值;,(2)最小值;,(3)等于零?,并问在怎样的方向上此方向导数有,例,.,13,故,方向导数达到最大值,方向导数达到最小值,方向导数等于,和,(1)最大值;,(2)最小值;,(3)等于零?,问在怎样的方向上此方向导数有,.,14,解,练习,.,15,推广可得三元函数方向导数的定义,在点,的方向导数为,是l的方向余弦.,计算公式,.,16,解,令,其方向余弦为,例,.,17,.,18,18,问题,?,二、梯度概念与计算,已知方向导数公式,方向：,模：,方向一致时,方向导数取最大值,f(x,y)变化率最大的方向,f(x,y)的最大变化率之值,函数z=f(x,y)沿什么方向的方向导数为最大,(gradient),.,19,19,定义,记作,读作nable.,即,为函数z=f(x,y)在点P(x,y)处的,称向量,梯度,称为,或,算子,或向量微分算子.,引入算符,哈米尔顿算子,设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可偏导,利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成,(gradient),.,20,20,结论,函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它,的模为方向导数的最大值(最大的变化率).,梯度的模为,沿梯度方向,函数的增长最快!,.,21,21,梯度的基本运算公式:,称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)处的,负梯度.,函数沿负梯度的方向减少最快.,(1),(2),(3),(4),(5),.,22,等高线,为等高线上的一个法向量,梯度的几何意义,.,23,其参数形式：,所以任意点处的切向量为：,表示一条平面曲线,所以梯度为曲线,上点处的法向量.,梯度的几何意义,.,24,梯度与等高线的关系：,.,25,梯度的概念推广到三元函数,三元函数,在点,梯度为,可微,则在点,函数沿梯度方向的方向导数最大，,最大方向导数为,增长最快,.,26,方向导数公式,.,27,27,类似地,设曲面f(x,y,z)=c为函数,此函数在点P(x,y,z)的,的梯度的方向就是等值面f(x,y,z)=c在这点,的法线方向,值较高的等值面,法线方向的方向导数,且从数值较低的等值面指向数,而梯度的模就是函数沿这个,u=f(x,y,z)的等值面,梯度的几何意义,.,28,28,求曲面,解,例,在点P(1,2,4)处的,切平面方程和法线方程.,设,由梯度与等值面,梯度,的方向是等值面f(x,y,z)=9在点P(1,2,4),因此,切平面方程为,即,法线方程为,的关系可知:,处的法向量.,.,29,解,故,例,并问在哪些点处梯度为零?,=0,=0,=0,处的梯度,.,30,例设函数,求,沿什么方向具有最大的增长率,最大增长率为多少?,解,增长率,最大的增长率为:,梯度方向具有最大的,梯度方向为,.,31,31,解,练习,.,32,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,三、小结,.,33,33,思考题,(是非题),非,函数f(x,y)在点(x0,y0)沿梯度方向的方向导,数最大.,因此,在(1,1)处,因为方向导数是数量,而梯度是向量.,两