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文档简介

标准形式幂级数:先求收敛半径,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,求幂级数收敛域的方法,例5求下列幂级数的收敛域：,解1考虑级数及，容易得到，收,敛域分别及，故原级数的收敛域,为,易知一般项趋于零，注意到,因,即得级数的收敛半径为1，收敛区间为,当时，级数为是交错级数，,上述级数变为,故数列当时单调减少，从而由交错级数审敛法,知此时级数收敛当时，级数为，由于,当时，,故此时级数发散因此原级数的收敛域为,解:因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,分析:级数缺少奇次幂项,不能直接应用公式求收敛半径,可由比值审敛法求收敛半径.,例6.,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,求部分和式极限,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数求和,幂级数和函数的求法,常用已知和函数的幂级数,例7求下列函数的和函数：,解法1,1；2,为，设其和函数为，则,易求出级数的收敛域,根据幂级数性质，有,因此,法2,显然x=0时上式也正确,故和函数为,而在,x0,级数发散,记,则,法1显然幂级数收敛域为，当,时，令,故,因，且，故,法2,显然x=0时,和为0;,根据和函数的连续性,有,x=1时,级数也收敛.,即得,例8.求幂级数,法1易求出级数的收敛域为,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,直接展开法,利用泰勒公式,函数的幂级数展开法,(1)f(x)展开成,的幂级数，,(2)f(x)展开成x的幂级数,“f(x)展开成x的幂级数”步骤：,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;,第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;,第三步判别在收敛区间(R,R)内,是否为0.,如果为零，,则函数f(x)在收敛区间内展开成x的幂级,数为,间接展开法,利用已知展式的函数及幂级数性质,2.常
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