28章-锐角三角函数(全章)ppt课件

28章锐角三角函数,.,在RtABC中，C90，由于A45，所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得,因此,即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于,=,+,=,=,_,_,=,.,综上可知，在一个RtABC中，C90，当A30时，A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当A45时，A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.,一般地，当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？,结论,问题,.,在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABC,这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大,如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记住sinA即,当A30时，我们有,当A45时，我们有,c,a,b,对边,斜边,1、正弦函数,同理，sin60=,注意,sinA是一个完整的符号，它表示A的正弦，记号里习惯省去角的符号“”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”。,正弦的常见表示：sinA、sin42、sin（省去角的符号）,sinDEF、sin1（不能省去角的符号）,例1如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值,解：（1）在RtABC中，,因此,（2）在RtABC中，,因此,A,B,C,A,B,C,3,4,13,例题示范,5,练一练,1.判断对错:,1)如图(1)sinA=（）(2)sinB=（）(3)sinA=0.6m（）(4)SinB=0.8（）,sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；,2)如图，sinA=（）,2.在RtABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定,C,练一练,根据下图，求sinA和sinB的值,A,B,C,3,5,练习,解：（1）在RtABC中，,因此,根据下图，求sinA和sinB的值,A,B,C,12,5,练习,解：（1）在RtABC中，,因此,根据下图，求sinB的值,A,B,C,n,练习,解：（1）在RtABC中，,因此,m,练习,如图，RtABC中，C=90度，CDAB，图中sinB可由哪两条线段比求得。,解：在RtABC中，,在RtBCD中，,因为B=ACD，所以,求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。,如图,C=90CDAB.sinB可以由哪两条线段之比?,想一想,若C=5,CD=3,求sinB的值.,解:B=ACD,sinB=sinACD,在RtACD中，AD=,sinACD=,sinB=,=4,回味无穷,1.锐角三角函数定义:,2.sinA是A的函数,4.只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.,Sin300=,sin45=,sin60=,3.sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位,小结,如图，RtABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，,所以0sinA1,0sinB1,如果AB,则BCAC,那么0sinAsinB1,1,1,1.sinA的取值范围是什么？2结合右图，思考A的其他两边的比值是不是也是唯一确定的？发挥你的聪明才智,动手试一试,28.1.2余弦、正切,如图，在RtABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？,当锐角A的大小确定时，A的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦（cosine），记作cosA，即,把A的对边与邻边的比叫做A的正切（tangent），记作tanA，即,锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数,锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.,1.下图中ACB=90，CDAB,垂足为D.指出A和B的对边、邻边.,练习,CD,AB,BC,AC,AD,AB,BC,CD,例2如图，在RtABC中，C90，BC6，sinA，求cosA、tanB的值,解：,又,例题示范,变题：如图，在RtABC中，C90，cosA，求sinA、tanA的值,解：,例题示范,设AC=15k，则AB=17k,所以,例3：如图，在RtABC中，C90,例题示范,1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA,2.求证：,3.求证：,1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值,练习,解：由勾股定理,2.在RtABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？,解：设各边长分别为a、b、c，A的三个三角函数分别为,则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c,3.如图，在RtABC中，C90，AC8，tanA，求：sinA、cosB的值,A,B,C,8,解：,小结,如图，RtABC中，C=90度，,因为0sinA1,0sinB1,tanA0,tanB0,0cosA1,0cosB1,所以，对于任何一个锐角，有0sin1，0cos1，tan0，,定义中应该注意的几个问题:,1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。,2、sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）。,3、sinA、cosA、tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。,若已知锐角的始边在x轴的正半轴上,(顶点在原点)终边上一点P的坐标为(x,y)，它到原点的距离为r求角的四个三角函数值。,推广,sin=，cos=，tan=，cot=,M,例4：如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若,例题示范,那么(),B,变题：如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若AB=10，CD=6，求.,4.如图，在ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cosDAC,（1）求证：AC=BD；（2）若，BC=12，求AD的长。,5.如图，在ABC中，C=90度，若ADC=45度，BD=2DC，求tanB及sinBAD.,AD=8,新人教版九年级数学(下册)第二十八章,28.2解直角三角形（1）,复习,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：,对于sin与tan，角度越大，函数值也越大；对于cos，角度越大，函数值越小。,问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50a75.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1）？这时人是否能够安全使用这个梯子？,这样的问题怎么解决,问题（1）可以归结为：在RtABC中，已知A75，斜边AB6，求A的对边BC的长,问题（1）当梯子与地面所成的角a为75时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度,因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m,所以BC60.975.8,由计算器求得sin750.97,由得,对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在RtABC中，已知AC2.4，斜边AB6，求锐角a的度数,由于,利用计算器求得,a66,因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66,由506675可知，这时使用这个梯子是安全的,一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素即三条边和两个锐角,在图中的RtABC中，（1）根据A75，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？,能,6,=75,在图中的RtABC中，（2）根据AC2.4，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？,能,6,2.4,事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素,解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程,解直角三角形,（2）两锐角之间的关系,AB90,（3）边角之间的关系,（1）三边之间的关系,（勾股定理）,在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：,例1如图，在RtABC中，C90，解这个直角三角形,解：,例2如图，在RtABC中，B35，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）,解：A90B903555,你还有其他方法求出c吗？,例3如图，在RtABC中，C90，AC=6，BAC的平分线，解这个直角三角形。,6,解：,因为AD平分BAC,在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；（1）a=30,b=20;,练习,解：根据勾股定理,在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；(2)B72，c=14.,解：,解决有关比萨斜塔倾斜的问题,设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在RtABC中，C90，BC5.2m，AB54.5m,所以A528,可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角你愿意试着计算一下吗？,A,B,C,解直角三角形,AB90,a2+b2=c2,三角函数关系式,计算器,由锐角求三角函数值,由三角函数值求锐角,解直角三角形：,由已知元素求未知元素的过程,直角三角形中，,28.2.2应用举例（一）,【方位角】,指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.如图：点A在O的北偏东30点B在点O的南偏西45（西南方向）,例5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）,65,34,P,B,C,A,解：如图，在RtAPC中，,PCPAcos（9065）,80cos25,800.91,=72.8,在RtBPC中，B34,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130.23海里,65,34,P,B,C,A,练习：海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？,B,A,D,F,60,12,30,B,A,D,F,解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，AFD=90,由题意图示可知DAF=30,设DF=x,AD=2x,在RtABF中，,解得x=6,10.48没有触礁危险,30,60,【坡度与坡角】,坡度一般用i来表示，即,一般写成i=1:m,如i=1:5,(1)坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度,显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.,(2)坡面与水平面的夹角叫坡角,例6一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD,试根据下图中的数据求出坡角和坝底宽AD.(单位是米,结果保留根号),练习.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和;（2）坝底宽BC和斜坡CD的长（精确到0.1m）,利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：,（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；,（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；,（3）得到数学问题的答案；,（4）得到实际问题的答案,解直角三角形应用中考题列举,（2014四川凉山州）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）,C,4.（2014云南省）如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60，请求出旗杆AB的高度.,3.（2014广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60（A、B、D三点在同一直线上）请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度,5.（2014自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45，看雕塑底部C的仰角为30，求塑像CD的高度.,6.(2014东营)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯角为60，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高,（2014湖南张家界）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60方向的我国某传统渔场捕鱼作业若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值）,(2014年河南)在中俄“海上联合2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.,（2014四川内江）“马航事件”的发生引起了