几何基础与非欧几何简介PPT课件

.,1,几何基础是研究几何学的理论基础，以及相关问题的一门学科。题记,.,2,提纲,一、希尔伯特公理体系二、非欧几何,.,3,在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。欧几里得的“几何公理体系”也并不另外。有人就曾经列举过几何原本至少存在的以下五个方面的不足：,一、希尔伯特(Hilbert，David)公理体系,.,4,第一，定义含糊不清，有时无法理解，所用的都是一些日常用语，而不是精准的数学语言，如“点是没有部分的”，“线是有长度但是没有宽度的”等等。第二，证明过程常常依赖直观，这样可能由于作图的不精准或直观错觉，导致得出不正确的结论。,.,5,第三，公理系不完备，缺少顺序公理、合同公理和连续公理（事实上欧几里得在逻辑推理中曾经使用了“连续”的概念，但是在几何原本中从未提到过这个概念）。第四，有些公理不独立，例如第四公设“所有直角都相等”，很容易从其它公理推导出来。,.,6,第五，利用图形移动不变性，用重合来证明全等，此法至少有两点不足：一是移动、重合概念没有逻辑依据，二是为什么会有图形的移动不变性？哪些几何性质在图形移动中不变都没有交代清楚，也不可能交代清楚等。,.,7,为了克服以上缺陷，后来者，从多方面展开了研究。从公元三世纪的帕善朗到后来的法国数学家达朗贝尔于1757年首次对几何原本提出批判意见、勒让德于1794年编写新几何教材对几何原本也提出了的批判。最后，集大成者应该是德国数学家希尔伯特。,.,8,希尔伯特于1899年出版了几何基础这一世界公认的公理化方法的经典不朽之作，在前人研究成果的基础上建立起了一个相对更加和谐、独立和完备的新的几何公理体系希尔伯特公理体系。它是欧几里得“公理体系”的继承发展和升华。,.,9,希尔伯特公理体系包括三个原始概念：点、线、面；三个不定义关系：在之间、在之上、合同于；五个基本关系：两个结合关系（点与直线结合、点与平面结合）；一个顺序关系（一点在另两点之间）；一个合同关系（线段与线段合同、角与角合同）；以及以下五类（结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理）共二十条公理的公理体系。,.,10,第一类公理结合公理（也称为关联公理或从属公理）1对于两个不同的点，必有一条直线通过这两点。2对于两个不同的点，至多有一条直线通过这两个点。3每条直线上至少有两个不同的点，至少有三个点不在同一直线上。4对于不在一条直线上的三个点，恒有一个平面通过其中每一个点，每个平面上至少有一个点。5对于不在同一直线上的三个点，至多有一个平面通过其中每一个点。,.,11,6如果一直线有不同两点在某一平面上，那么直线全在平面上。7如果两个平面有一个公共点，那么至少还有另一个公共点。8至少有四个点不在同一平面上。显然，由1、2可以得到我们熟悉的两个推理：推论1：任意不同的两个点确定唯一通过它们的直线。（“不同两点确定唯一直线”）推论2：不同两条直线至多有一公共点。,.,12,由4、5也可得到如下我们熟悉的一个推论：推论3：任意不在同一直线上的三个点确定唯一的通过它们的平面。（“不在同一直线的三点确定唯一平面”）,.,13,另外，如果只是建立平面几何学体系，可以去掉后五个公理。当然，在标准意义下，我们主张作为教师还是要全面理解整个体系并能与现行中小学教材中所采用的“局部公理化体系”意义下的几何发生关联。,.,14,第二类公理顺序公理（也称为介于公理）设有同在一直线上的三点，则我们由经验上知道有一个点介于两点之间。“介于之间”或“在之间”这个概念乃表示三点的“顺序关系”，希尔伯特采用它作为原始概念或称元谊。本组公理有四条：1如果点B在点A和点C之间，那么A，B，C是同一直线上的不同的三个点，而且点B也在点A和点C之间。2对于任意不同的两个点A和点B，至少有一点C，使得点B在点A与点C之间。,.,15,无序两点A和B的集合叫做线段，记为AB或BAA和B之间的点叫线段AB内部的点或内点或线段AB上的点点A和B都称为线段AB的端点在直线AB上,除去点A、B和线段AB的内点外,其它的点叫做线段AB外部的点或外点点A和B之间的一切点的集叫做线段AB的内部或开线段，记为(AB),.,16,3在同一条直线上任意三个不同的点中，至多有一个点在其它两个点之间。4（帕须公理）设A，B，C三点不在同一条直线上，而直线在平面ABC上，但不通过A，B，C中任何一点，如果上有一点在A和B之间，则必还有一点在A和C或B和C之间。,.,17,最后一个公理是德国数学家帕须（Pasch,1843-1930年）首先提出来的，也叫截割公理。同样，如果只是建立平面几何学体系，可以去掉最后一个公理。,.,18,第三类公理合同公理有了“在之间”的概念和顺序公理，就可以得出以下定义：线段：介于A、B两点之间，有无限多个点。这些点的全体叫做线段。,.,19,射线：设O和A是直线上两点。则除这两点外，在直线上还有无限个点X，使得O不介于A和X之间，又有无限个点Y，使得O不介于A和Y之间。所有一切X点连同A点组成的总体，以及一切Y点合成的全体，各叫做一条半线或射线。记着射线OX及0Y.点0叫端点或原点。,.,20,角：一点0及由这点发出的两条射线0X与0Y合起来叫做一个角。现在我们认定线段与线段之间、角与角之间具有一种相互关系，这个关系我们用“合同”或“相等”一词表示。有时也用“”来标记。,.,21,这组公理有5个：1设A，B是直线a上两个不同的点，A是同一或另一直线上a的点，那么在a和A的指定一侧恒有点B，使线段AB和线段AB合同(相等或全合),记为AB=AB。2如果两个线段（相同或是不同的）都与第三个线段合同，那么这两个线段合同（相等）。简言之，若AB=AB，则,.,22,3设AB和BC是直线a上两个没有公共内点的线段，AB和BC是同一或另一直线上两个没有公共内点的线段，如果合同，合同，那么AC和AC合同。简言之，若AB=AB而且BC=BC那么AC=AC（线段可加性）。,.,23,4已知平面上的一个角(h,k)，同一或另一平面上的一条直线a和a上以O为顶点的射线h，那么上a的指定一侧恰有一条射线k，使(h,k)与(h,k)合同；(h,k)与自身合同。,.,24,5对于两个三角形ABC和ABC，如果线段AB与AB合同，线段AC与AC合同，BAC与BAC合同，那么ABC与ABC合同。由这些公理可以推证线段与线段或角与角的相等关系并具有“反身性”、“对称性”、“传递性”，又可建立关于线段或角的“大于”、“小于”、“加法”以及“图形的变换”等等概念。,.,25,第四类公理平行公理同在一个平面上而且没有公共点的两直线叫做平行线，或称两直线相互平行。以下公理首先由德国数学家普雷费尔（Playfair,17481819rh）替代“第五公设”，所以普遍把它叫做“普雷费尔公理”。设a是任意一条直线，A是a外的任意一点，在a与A所确定的平面上，至多有一条直线通过A且与a不相交。,.,26,第五类公理连续公理连续公理（戴得金(Dedekind)公理）若线段AB及其内部的所有的点能被分为两类，有性质(1)每点恰属于一类；A属于第一类，B属于第二类；(2)第一类中异于A的每个点在A和每个第二类点之间，则存在点C，使A和C之间的点均属于第一类，C和B之间的点均属于第二类点C称为戴得金点或界点（C可能属于第一类，也可能属于第二类），由它决定的分类叫做一个戴得金分割（分划）戴得金点是唯一的.,.,27,第五类公理连续公理1（阿基米德公理或称度量公理）对于任何线段AB与CD，在以点A为顶点，通过点B的射线上，存在有限点，使得线段都与CD合同，而且点B在A与An之间.,.,28,.,29,2康托公理（或称完备性公理）设在直线上给了无限个线段AiBi（i=1,2,3,n,）,其中Ai+1Bi+1线段的点全属于AiBi。假如无论给出多么小的线段PQ都能在该串线段中总有线段AiBi小于PQ,那么在直线上有且仅有一占C属于该串线段的每个线段或是其中某些线段的端点。,.,30,有了“度量公理”，就可以度量任意线段的“长度”；“康托公理”能解决相反问题，即保证已知长度的线段必然存在。这两个公理奠定了线段长度的度量理论的基础。以上介绍的希尔伯特公理体系是一个完备的体系，利用它足以建立系统严密的欧几里得几何学。或者说，从这一公理体系就能够演绎出全部中小学几何的内容，并且可以无限发展下去并产生出丰富灿烂的成果。,.,31,当然，值得说明的是，希尔伯特公理体系不是世界上独一无二的完备的公理体系。事实上，人们应用公理化思想构造出了许许多多几何公理体系，如外尔的现代欧氏公理体系（向量基础上），罗巴切夫斯基的非欧几何公理体系等。,.,32,特别值得一提的是，我国在大纲意义下组织的中小学数学教材，特别是中学数学教材的内容，原则上都是按公理化思想指导下按公理化方法组织展开的。它的体系事实上不是一个严格的公理化体系，而只是一个“局部公理化体系”。特别是平面几何、立体几何内容的组织，一般地按以下逻辑方式展开的：,.,33,各章节教材在具体展开时，为了便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构：,.,34,从全部教材的逻辑结构和具体内容来看，总体上体现了公理化的基本思想。但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是很严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观。例如：平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏几何的不完善的公理系统。,.,35,20世纪80年代以来我国的平面几何教材中一共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。在16条几何公理中，有11条新增公理，5条强化了的公理。“两点之间，线段最短”，“同位角相等，则两直线平行”等都是新增的公理；而“经过直线外一点，有且仅有一条直线和这条直线平行”是强化了的公理。,.,36,教材的这种处理方案，虽然从公理系统来说是不够严格的，有悖于公理体系的完备性和独立性。但是这样做能减少初学者的困难，便于学生接受，从教学论的角度看是有积极作用的。,.,37,对此，学术界、教育界历来存在不同观点。其中，我国著名数学教育家张景中院士就曾指出：“引进了公理系统，是不是在课堂上就要把这个公理系统作为平面几何学习的开端呢？大可不必。从公理系统入手讲几何，就像学骑自行车先学上车一样，骑自行车本来先要上车，但学骑时可以先请别人扶着，爬上车学前进，学会了蹬车前进，回过头来学上车是容易的。”,.,38,于是，在标准意义下的数学新教材对此作了重大的改革。删去了大部分的公理和定理，弱化了严格的逻辑证明的要求，呈现方式也与原来顺序大不相同，有的版本则完全不同。例如，西师版教材就以“体、面、线、点”的顺序展开呈现的。整个体系也估且算得上是一个“局部的公理体系”，谈不上什么“相容性”、“独立性”和“完备性”。,.,39,但是，实践说明，这样也没有对“学生形成空间观念，形成推理能力”产生太大的影响。当然，在局部环节上出现了学生演绎推理能力下降等现象。然而也没有研究表明这跟教材体系有直接的关联。所有这些还有待我们去认真的研究和讨论。如何用希尔伯特公理体系去推导欧氏几何的全部定理,可参看傅章秀编几何基础（北京师范大学出版社,1984年）或希尔伯特著,江泽涵译几何基础,科学出版社。,.,40,二、非欧几何学,欧几里得几何学的第五公设，由于并不“自明”，引起了历代数学家的关注。最终，由罗巴切夫斯基和黎曼建立起了两种非欧几何学体系。这不仅对数学产生了巨大影响，而且对于人类文化都产生了深刻影响。可以说是人类思想史上的一个奇迹。,1.罗巴切夫斯基几何,.,41,罗巴切夫斯基（1792.12.11856.2.24）几何：俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。他从1815年着手研究平行线理论的。开始他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就记有他在18161817学年度在几何教学中给出的一些证明。可是，很快他便意识到自己的证明是错误的。,.,42,罗巴切夫斯基从前人和自己的失败的反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明。于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答。这是一个全新的，也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现了一个崭新的几何世界。,.,43,那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样从中发现新几何世界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法反证法。这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。,.,44,首先假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来。那么，在新公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”。,.,45,依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普雷菲尔公理“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。在推演过程中，他得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题。但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间存在任何逻辑矛盾。,.,46,于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实界的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”。,.,47,罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认。就在他去世的前两年，俄国著名数学家布尼雅可夫斯基还在其所著的平行线一书中对罗巴切夫斯基发难，他试图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性，来否定非欧几何的真实性。,.,48,英国著名数学家莫尔甘对非欧几何的抗拒心里表现得就更加明显了，他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：“我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。”莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他的工作。,.,49,高斯是当时数学界首屈一指的学学巨匠，负有“欧洲数学之王”的盛名，早在1792年，也就是罗巴切夫斯基诞生的那一年，他就已经产生了非欧几何思想萌芽，到了1817年已达成熟程度。他把这种新几何最初称之为“反欧几何”，后称“星空几何”，最后称“非欧几何”。但是，高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，会由此影响他的尊严和荣誉，生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和与朋友的往来书信中。,.,50,当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作平行线理论的几何研究后，内心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”；另一方面，却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论；他积极推选罗巴切夫斯基为哥廷根皇家科学院通讯院士,可是，在评选会和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中,对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献创立非欧几何却避而不谈。,.,51,罗氏几何的公理系统,欧氏、罗氏两种几何的全部基本概念和前四组公理IIV均相同,仅第五组公理不同V(欧几里得平行公理,简称欧氏平行公理)对任何直线a和不在其上的任何点A，至多有一直线过A且与a共面不交平行公理的等价命题：第五公设在一平面上，若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点,.,52,V*（罗巴切夫斯基平行公理,简称罗氏平行公理）有这样的直线a和不在其上的点A，过A至少有两条直线与a共面不交,.,53,罗氏几何就是公理I-IV和V*的一切可能的逻辑推论系统.绝对几何(公理系统)是欧氏几何(公理系统)和罗氏几何(公理系统)的公共部分.欧(罗)氏几何公理系统=绝对几何公理系统+欧氏平行公理V(V*).,.,54,命题1*（P1）有两条共面直线a，b和截它们的第三条直线c，a与b被c所截成的同侧二内角之和小于二直角，而a和b不相交,.,55,命题2*（P2）有两条共面不交的直线a和b以及截它们的第三条直线c，a与b被c所截成的同位角不合同,.,56,命题3*（P3）在同一平面上，有已知直线的一垂线和一斜线不相交命题4*（P4）有这样的三角形，它的三高线不共点（即：有的三角形无垂心）命题5*（P5）有这样的不共线的三点，不存在通过它们的圆（即：有的三角形无外接圆）,.,57,命题6*（P6）有这样的角及其内部一点，过此点不能引直线与角的两边都相交命题7*P7有一个三角形的内角和小于,.,58,命题8*（P8）在任何平面上，对于任何锐角及其任一边，都有这样的直线，它垂直于该边而不与另一边相交命题9*（P9）两三角形若有三对对应角合同，则此两个三角形合同（罗氏几何中特有的三角形合同的判定定理-角角角定理,记作a.a.a.）【注】据此,在罗氏几何中不存在一般的相似三角形.,.,59,命题10*（P10）对任何直线l及其外任何点A，过A至少有两条直线与l共面不交命题11*P11任何三角形的内角和小于推论凸四边形的内角和小于2.命题12*（P12）勾股定理不成立,.,60,定理三角形的内角和不是常数.证明：设ABC的内角和S()=k为常数.在ABC的两边AB和AC上分别取点B和C,使得AC*C且AB*B因为ABC和ABC有公共内角A,于是由S()=k为常数,可知+=k-=+.但+=,+=,从而+=+=2.即四边形BCCB的内角和等于2，得出矛盾,.,61,2.黎曼流形上的几何学：,德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在哥廷根大学发表的题为论作为几何学基础的假设的就职演说，通常被认