高考求函数解析式方法及例题.doc

函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。一 【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。分析：所求的函数类型已定，是一次函数。设f(x)=ax+b(a0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a0)，由条件得：3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=ax+5a+b=2x+17，f(x)=2x+7【例2】求一个一次函数f(x)，使得fff(x)=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。设f(x)=ax+b(a0)则fff(x)=ffax+b=fa(ax+b)+b=?解：设f(x)=ax+b（a0)，依题意有aa(ax+b)+b+b=8x+7+b(+a+1)=8x+7，f(x)=2x+1【评注：】待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。三【配凑法（整体代换法）】若已知的表达式，欲求的表达式，用换元法有困难时，（如不存在反函数）可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再换元求出的式子。【例题】已知f(x-1)= -4x，解方程f(x+1)=0分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键解1：f(x-1)=-2(x-1)-3，f(x)=-2x-3f(x+1)=-2(x+1)-3=-4，-4=0，x=2解2：f(x-1)=-4x，f(x+1)=f（x+2)-1=-4(x+2)=-4，-4=0，x=2解3：令x-1=t+1，则x=t+2，f(t+1)=-4(t+2)=-4f(x+1)=-4，-4=0，x=2评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。解法1，采用配凑法；解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的；解法3，采用换元法，这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同-整体思想。四 【消元法】【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。五【赋值法】(特殊值代入法)在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。题5若，且，求值.练习5设是定义在上的函数，且，求的解析式.六利用给定的特性求解析式.题6设是偶函数，当x0时， ，求当x0时，的表达式.练习6对xR， 满足，且当x1，0时， 求当x9，10时的表达式.七归纳递推法题7设，记，求.八相关点法题8已知函数，当点P(x，y)在y=的图象上运动时，点Q()在y=g(x)的图象上，求函数g(x).九构造函数法题9若表示x的n次多项式，且当k=0，1，2，n时， ，求.训练例题(1)已知f（1）x2，求f(x)的解析式。(2)已知f（x）x3，求f(x)的解析式。(3)已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x1）2f（x1）2x17，求f(x)的解析式。分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。即：求出f及其定义域.(1)解法一：【换元法】设t11，则t1，x（t1）2f（t）（t1）22（t1）t21（t1）f（x）x21（x1）解法二：【凑配法】由f(+1)=x+2=-1，f(x)=-1(x1)【评注：】f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。(2)x3（x）（x21）（x）（x）23f（x）（x）（x）23f（x）x（x23）x33x当x0时，x2或x2f（x）x33x（x2或x2）(3)设f（x）axb则3f（x1）2f（x1）3ax3a2b2a2baxb5a2x17a2，b7f（x）2x7评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。（4）已知，求；（5）已知，求；（6）已知是一次函数，且满足，求；（7）已知满足，求解：（4），（或）（5）令（），则，（6）设，则，（7）， 把中的换成，得 ，得，注：第（4）题用配凑法；第（5）题用换元法；第（6）题已知一次函数，可用待定系数法；第（7）题用方程组法 (8)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S(公里)表示成时间t(小时)的函数。分析：从已知可知这辆汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲乙两地之间的距离来决定。解：汽车在甲乙两地匀速行驶，S100t汽车行驶速度为100公里小时，两地距离为1500公里，从甲地到乙地所用时间为t小时答：所求函数为：S100t t0，15(9)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食.求出函数y关于x的解析式。分析：此题用到平均增长率问题的分式，由于学生尚未学到，所以还应推导。解：设现在某乡镇人口为A，则1年后此乡镇的人口数为A(11.2)，2年后的此乡镇人口数为A（11.2）2经过x年后此乡镇人口数为A(11.2)x。再设现在某乡镇粮食产量为B，则1年后此乡镇的粮食产量为B(14),2年后的此乡镇粮食产量为B（14）2，经过x年后此乡镇粮食产量为B（14）x，因某乡镇现在人均一年占有粮食为360 kg，即360，所以x年后的人均一年占有粮食为y，即y（xN*)评述：根据实际问题求函数解析式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻求等量关系，求得函数解析式后，还要注意函数定义域要受到实际问题的限制。（10）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费基本费超额费损耗费若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费元；若用水量超过时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每付元的超额费。已知每户每月的定额损耗费不超过5元。该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：月份用水量水费（元）1239152291933根据上表中的数据，求、。解：设每月用水量为，支付费用为元，则有由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15，22均大于最低限量，于是就有，解之得，从而 再考虑一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设，将代入（2）式，得，即，这与（3）矛盾。从而可知一月份的付款方式应