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6.1.5 空间曲线及其在坐标面上的投影课题： 空间曲线及其在坐标面上的投影目的要求： 1知道空间曲线的参数方程和一般方程2会求简单空间曲线在坐标平面上投影重点： 空间曲线的参数方程和一般方程难点： 空间曲线在坐标平面上投影教学方法： 讲练结合教学时数： 2课时教学进程：一、空间曲线的一般方程空间曲线可以定义为两个曲面的交线设表示两个曲面的方程,设它们的交线为因为曲线上的任何点的坐标必须同时满足这两个曲面的方程,即满足方程组 (1)反过来,如果点不在曲线上,那末它不可能同时在两个曲面上,所以它的坐标不满足方程组(1)因此,曲线可以用方程组(1)来表示方程组(1)叫做空间曲线的一般方程例6 方程组表示怎样的曲线?解 方程组中的第一个方程表示圆柱面,其母线平行于轴,其准线是面上的圆,圆心在原点O,半径为2方程组中第二个方程表示一个平面,它在、轴和轴的截距依次为2、3和3方程组就表示上述平面与圆柱面的交线,例7 方程组表示怎样的曲线？解 方程组中第一个方程表示上半球面,其球心在坐标原点O，半径为第二个方程表示一个圆柱面,其母线平行于轴,它的准线是面上圆心在点,半径为的圆方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线2空间曲线的参数方程对于空间曲线上的动点的坐标、,也可以用变量的函数来表达,形如 （2）对应于上的一个点()随着的不同取值,便可得曲线上的全部点方程组(2)叫做空间曲线的参数方程 例8 如果空间一点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，同时又以速度沿平行于轴的正方向上升（、为常数），那末点运动构成的图形叫做螺旋线试求其参数方程解 取时间为参数当时,动点在轴上的一点经过时间,动点由运动到记在面上的投影为的坐标为、0由于动点在圆柱面上以角速度绕旋转,所以经过时间，角度的变化为从而而动点同时以线速度沿平行于z轴的正方向上升，所以因此螺旋线的参数方程为3空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程为 (3)消去变量z后所得的方程 (4)由于方程(4)是由方程组(3)消去z后所得的结果,因此当、和满足方程组(3)时,前两个数、必定满足方程(4),这说明曲线上的所有点都在由方程(4)所表示的曲面上方程（4）表示一个母线平行于z轴的柱面,这样的面必定包含曲线以曲线为准线、母线平行于轴的柱面叫做曲线关于面的投影柱面,投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线,或简称投影投影曲线的方程为 同理,消去方程组(3)中的变量,再和联立,我们就可得到包含曲线在面上的投影的方程: 类似地,我们可以得到 在面上的投影曲线方程例9 已知两球面的方程为 (5)和 (6)求它们的交线在面上的投影方程解 联立方程,消去,得:于是两球面的交线在面上的投
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