6.2 光波的衍射--修改3.doc

第七章 光信息处理的数值模拟与仿真7.2 光波的衍射衍射是光波在空间传播过程中的一种基本属性。实际中的衍射现象可以分为两种类型：菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射。菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射的衍射图样具有不同的性质，为了简化这两类衍射图样的数学计算，通常都要对衍射理论所给出的结果作出某种近似，而对菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射所采用的近似的程度是不同的。一般将满足远场近似条件的衍射称为夫琅禾费衍射，满足近场近似条件的衍射称为菲涅耳衍射。夫琅禾费衍射实际上是菲涅耳衍射的一种特殊情况，两者的差异仅在于一个二次相位因子。根据标量衍射理论，衍射过程可以用菲涅耳-基尔霍夫衍射积分描述1。然而，近场近似条件下的菲涅耳衍射积分式相当复杂，特别是对于具有复杂结构的衍射屏，几乎不可能获取其解析解。同时，由于实验条件和其它因素的限制，实验上也往往难以方便地观察。计算机仿真以其良好的可控性、无破坏、易观察及低成本等优点，为数字化模拟现代光学实验提供了一种极好的手段2。一般在设计一个光学系统时，总希望明确知道某一个光学元件能起到何种作用。用计算机仿真菲涅耳衍射，可以给出衍射光场复振幅及强度在任意平面上的详细分布，而用传统的半波带理论及振幅矢量叠加法只能给出某些特定平面上光场的近似分布；计算机仿真也可以直接模拟光学成像过程，给出指定光学元件的衍射特性或成像特性，因此对于优化光学系统设计具有一定的指导作用。本节首先介绍光波衍射的基本理论，然后分别对菲涅耳衍射及夫琅禾费衍射两种情况下的各种衍射现象进行Matlab 仿真模拟。 x0y0OP0POrzxy孔径平面观察平面图1 讨论菲涅尔衍射的几何图形本节首先讨论菲涅尔衍射，上图为讨论菲涅尔衍射的几何图形，根据菲涅耳-基尔霍夫衍射积分，观察平面上复振幅分布为 (7.2-1)其中，G(x, y; z)为系统的空间脉冲响应，表达式为 (7.2-2)在极坐标系下,x=rcosq，y=rsinq，kx= rcosf, ky= rsinf，G(x, y; z)可表示为 (7.2-3)下面，对式(7.2-3)作下列近似：（1） 当zl0=2p/k0时，1+1/jk0(r2+z2)1/21，因此该项可忽略。（2） z/(r2+z2)1/2=cosF，其中cosF称为倾斜因子，F为z轴正半轴与过坐标原点的直线之间的夹角。（3） 在傍轴近似条件下，有x2+y2z2。将r进行二项式展开，则因式 (r2+z2)1/2=(x2+y2+z2)1/2z+(x2+y2)/2z；在傍轴近似下，cosF1。在菲涅尔近似下，脉冲响应变为自由空间脉冲响应h(x, y; z)，根据傅里叶光学（Banerjee(1991)，Goodman (1996)）， (7.2-4)对(7.2-4)进行二维傅里叶变换得： (7.2-5)在傅里叶光学中H(kx, ky; z)称为空间频率响应。事实上，式(7.2-5)可以通过假设kx2+ky2k02直接推导出来，此时光波x，y方向的传播矢量相对较小。由式(7.2-5)可以得到 (7.2-6)若将(7.2-4）式代入（7.2-1）式，可得到 (7.2-7)夫琅禾费衍射是菲涅耳衍射的一种特殊情况，在实验中可借助两个透镜来实现。图2 实现夫琅和费衍射的实验装置lL2f PqP0qqBAaxxSL1z 如图2所示，位于透镜L1物方焦平面上的点源S所发出的单色球面光波经L1变换为一束平面光波，照射在衍射屏AB上。衍射屏开口处的波前向各个方向发出次波。方向彼此相同的衍射次波经透镜L2会聚到其像方焦平面的同一点Pq上。满足相长干涉条件时，该点为亮点；满足相消干涉条件时，该点为暗点。根据菲涅耳-基尔霍夫积分，当观察屏与衍射屏之间的距离z满足夫琅和费衍射的条件4 或者 (7.2-8)时，可得夫琅和费衍射复振幅分布 (7.2-9)上式表明，观察屏上的场分布正比于衍射屏上透射光场分布的傅里叶变换。频谱取值与观察平面坐标的关系为fx=x/lz ，fy=y/lz 。积分号前的相位因子并不影响观察屏上衍射图样的强度分布 (7.2-10)式中，A0 表示衍射屏透射光场复振幅分布的频谱，略去常系数，衍射图样的强度分布直接等于衍射屏透射光场分布的傅里叶变换频谱。设衍射屏的透射系数为t(x, y)，照明光波在衍射屏平面上的复振幅分布为r(x, y)，则夫琅和费衍射复振幅分布可表示为： (7.2-11)式中F表示二维傅里叶变换运算，z为观察距离（观察平面到衍射屏之距离）。(7.2-11)式也称为菲涅耳变换。7.2.1 菲涅尔衍射的MATLAB仿真本节首先以平面波和点源为例，简单说明其菲涅尔衍射的复振幅分布；其次，在计算离散菲涅耳衍射积分公式的基础上，利用MATLAB软件实现了多种衍射屏的菲涅耳衍射的计算机仿真。给出了用平面光波或球面光波照射不同衍射屏时的菲涅耳衍射仿真实验结果，包括直边、狭缝、矩孔、圆孔、圆屏、黑白光栅等，并分析了一些特殊衍射现象。该方法还可用于菲涅耳数字全息图的数值重建。当入射光波为平面波时，其复振幅分布可表示为,Yp0 (x,y)=1则 (7.2-12)根据式(7.2-6)可知，传播距离为z处的光波的频谱分布为 (7.2-13)因此有 (7.2-14)上式表明，平面波在传播过程中不发生衍射。当入射光波为一理想点源时， (7.2-15)由式(7.2-7)，传播距离为z处的光波的频谱分布为 (7.2-16)展开指数中的二次项，则有 (7.2-17)应该说明的是，式(7.2-16)代表了发散球面波在近轴近似下的传播。实际上，包括平面波及点源在内，任何光波在任何光学系统中的传播过程，实际上都是一种在相应光学元件调制下的衍射过程。研究各种形状的衍射屏在不同实验条件下的衍射特性，无论对于经典的物理光学还是现代光学都具有重要意义。 设衍射屏的透射系数为t(x, y)，照明光波在衍射屏平面上的复振幅分布为r(x, y)，则在菲涅耳近似下3，透过衍射屏的光场（即菲涅耳衍射光场）复振幅可表示为： (7.2-18)式中，F表示二维傅里叶变换运算，z为观察距离（观察平面到衍射屏之距离）。上式也称为菲涅耳变换。 为进行数值计算，需将式(7.2-18)式离散化，并用二维快速傅里叶变换FFT取代(7.2-18)式中的F直接计算： (7.2-19)式中，A为复常数，k、l、m、n为整数，且-M/2k，mM/2，-N/2l，nN/2，M和N分别为x和y方向采样总数，t(k, l)为衍射屏的数字图像函数，r(k, l)为照射光波复振幅的离散形式。设衍射屏平面上x、y方向的采样间距分别为x、y，则观察平面上的采样间距（Dx、Dy）可直接由离散傅里叶变换的空域与频域采样间距关系Dfx=1/MDx、Dfy=1/MDy得出。考虑到傅里叶变换平面的空间频率坐标是x/lz和y/lz，因此在观察平面的采样间距为 (7.2-20)式中Lx和Ly分别为x和y方向的积分范围。下面，利用式(7.2-19)给出的离散菲涅耳衍射积分式，分别对直边、狭缝、矩孔、圆孔、圆盘和黑白光栅等的菲涅耳衍射进行仿真计算。一、 直边，狭缝以及矩孔的菲涅尔衍射当衍射屏为一直边时，其复振幅透过率可以表示为t(x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b)，将其离散化为t(k, l)代入离散菲涅尔衍射公式(7.2-19)，并利用Matlab软件进行计算，可得到距离为z处的直边的菲涅尔衍射分布。图3给出了用波长为500nm的单色平面光波垂直照射直边时的仿真衍射实验结果。其中，上图为衍射光场强度灰度图样，下图为相应的沿x方向的相对光强分布曲线，横轴单位为mm。当衍射屏为一单缝时，其复振幅透过率可表示为t(x0,y0)= rect(y0/b)，同直边衍射屏的处理过程相同，在平行光垂直照射下利用离散菲涅尔衍射公式(7.2-19)可得到任意宽度狭缝的菲涅尔衍射分布。图4和图5为单狭缝于不同观察平面上的菲涅耳衍射图样，狭缝均位于衍射屏中心。其中，图4是宽度为4mm的狭缝的仿真衍射结果，灰度图样表示的实际宽度为6.1mm；图5是宽度为8mm的狭缝的仿真衍射结果，灰度图样表示的实际宽度为9.6mm。图5 宽度为8mm狭缝的菲涅耳衍射仿真图样上排：灰度图样；下排：沿x方向的相对光强分布曲线。横轴单位：mm。-4-2024(a) z=1.0m-4-2024(b) z=1.5m-4-2024(c) z=2.0m-4-2024(d) z=2.5m-2-101图3 直边的菲涅耳衍射仿真实验结果图4 宽度为4mm的狭缝的菲涅耳衍射仿真图样上排：衍射图样；下排：沿x方向的相对光强分布曲线。横轴单位：mm。-2-1012(a) z=0.5m-2-1012(b) z=1.0m-2-1012(c) z=1.5m-2-1012(d) z=2.0m当衍射屏为一矩形孔，其复振幅透过率可以表示为 (7.2-21)x0y0ObOzxy孔径平面观察平面a平面波图6 矩孔衍射式中，常数a、b分别为孔径在x0和y0方向上的宽度。下图为矩孔衍射的几何模型。同样，根据上述处理过程，图7和图8为平行光垂直照射下不同尺寸矩形孔的菲涅耳衍射仿真结果，矩形孔位于衍射屏中心。图7是大小为44mm2的矩形孔衍射图样，灰度图表示的实际尺寸为4.84.8mm2；图8是大小为84mm2的矩形孔衍射图样，灰度图表示的实际尺寸为9.69.6mm2。图7 尺寸为44mm2矩形孔的菲涅耳衍射仿真图样(a) z=0.5m(b) z=1.0m(c) z=1.5m(d) z=2.0m(e) z=2.5m图8 尺寸为84mm2矩形孔的菲涅耳衍射仿真图样(a) z=1.0m(b) z=1.5m(c) z=2.0m(d) z=2.5m(e) z=3m二、圆孔、圆盘的菲涅尔衍射圆孔的菲涅耳衍射具有一种特殊现象，即在保持衍射屏孔径、照射光波形状及波长不变的情况下，改变观察平面位置，可以观察到衍射图样中心的亮暗交替变化。当然，如果保持观察平面的位置不变而仅仅改变衍射孔径的大小，衍射图样中心的亮暗也会交替变化。圆孔的复振幅透过率可以表示为 (7.2-22)式中，a为圆孔半径；r0表示孔径平面的径向坐标。图9是圆孔的菲涅耳衍射仿真结果。其中图9(a)-(g)是观察距离取不同值时的衍射花样。灰度图表示的实际尺寸为1.71.7cm2。照明光波为l=500nm的发散球面光波，点光源位于平面中心，距衍射屏平面2m。圆孔直径为4mm，圆孔位于衍射屏中心。图9 圆孔的菲涅耳衍射仿真图样(b) z=1.35m(c) z=1.60m(d) z=2.00m(e) z=2.70m(a) z=1.14mz (m)22468101214608010040(h) 衍射图样中心相对强度(f) z=4.00m(g ) z=8.00m为了考察衍射图样中心强度变化与观察距离的关系，沿z轴每隔5cm采集一次衍射图样中心的强度，如图9(h)所示，横轴为观察距离，纵轴为衍射图样中心的强度除以该观察平面平均强度值后所得的相对强度值。由图9(h)可以看出，当观察平面与衍射屏平面相距1.15m、1.60m、2.75m、8.40m时衍射中心为强度最大值，相距1.35m、2.00m、4.00m时衍射中心出现强度极小值。由半波带理论计算得到出现强度极大值的位置为1.14m、1.60m、2.70m、8.00m，出现强度极小值的位置为1.30m、2.00m、4.00m。由此可以看出，实验值和理论值符合的很好。三、黑白光栅的菲涅耳衍射与塔耳博特效应5用单色平面光波垂直照射一个周期性物体时，在其后周期性的距离上将出现物体的衍射像。这种空间周期物的自成像现象称为塔耳博特（Talbot）效应。塔耳博特效应产生的物理原因是各衍射分量之间再次叠加时满足与衍射屏平面处相同的相位关系相长干涉。对周期为d的光栅，塔耳博特距离ZT=2d2/l。在ZT的整数倍距离处，各衍射分量在叠加时的相互相位关系与该物体各频谱分量之间的相互相位关系相同（或相差2p的整数倍），因而可以观察到物体的准确像，并且像的横向放大率等于1。另外，在ZT=(2n+1)d2/l（n=0,1,2）的距离处，各个衍射分量再次叠加时的相位与物体该衍射分量的相位之间相差p的奇数倍，这时叠加的结果会产生物体的反转像，像的横向放大率亦为1。在理想情况下，即不考虑光栅的有限大小，认为光栅是由无数多平行狭缝构成的。每条狭缝的宽度均为a，相邻缝的中心距，即光栅常数为d（da）。光栅透过率可以表示为一维卷积形式 (7.2-23)实际光栅大小总是有限的，即狭缝数目也是有限的。若光栅整体孔径是边长为L的正方形，可以用矩形函数表示其对透过率取决于对透过率的限制 (7.2-24)图10为单色平行光垂直照射下具有21个周期的黑白光栅的菲涅耳衍射仿真结果。衍射屏采样间距为10mm，每个周期占20个像素，其中透光与不透光部分各占10个像素，光栅周期d=0.2mm，塔耳博特距离ZT=0.16m。图10 光栅的菲涅耳衍射仿真图样上排：灰度图样；下排：相对强度分布曲线的局部放大图样(c) z=0.16m=ZT-0.200.2(b) z=0.13m-0.200.2(a) z=0m-0.200.2-0.200.2(d) z=0.19m-0.200.2(f) z=0.24m从图10中的相对强度分布曲线的局部放大图可以看出，当观察距离z=0.13m、0.19m时，在两个强度极大之间都会出现强度次极大，这是由于观察平面没有位于塔耳博特平面上，光栅的塔耳博特像在该平面上发生衍射的结果。当观察距离z=0.16m，两个强度极大值间没有次极大，光栅准确自成像。当观察距离为0.24m时，可以得到明暗与衍射光栅相反的像。利用MATLAB实现了任意衍射屏在不同条件下的菲涅耳衍射的计算机仿真，给出了多种衍射屏的菲涅耳衍射仿真实验结果。对于相位型衍射屏，由仿真过程特点知，只要能给出相位透射函数，该方法依然是有效的。同时，由于离散菲涅耳变换首先得到的是衍射光场的复振幅分布，该方法还可以方便地给出衍射场的相位谱。仿真过程中，可以灵活地改变各种实验参数，以观察衍射现象的相应变化，有助于更深刻理解各种衍射规律和现象之间的关系，因而可以认为是研究衍射规律的一种简便而有效的手段。7.2.2 夫琅禾费衍射的MATLAB仿真本小节探讨利用MATLAB软件实现对夫琅和费衍射的计算机仿真，针对衍射孔形状的简单与复杂，提出了两种获得仿真实验衍射图样的方法：直接计算法和傅里叶变换法。对于形状简单的衍射孔，利用直接计算法可以得到衍射强度分布与光路上各可调参数的关系，所获得的仿真结果能够随参数的改变而相应变化。对于形状复杂的衍射屏，则可以利用傅里叶变换的关系，在傅里叶频谱面上得到衍射强度分布图。通过这两种方法，可以得到任意形状衍射屏的计算机仿真衍射结果，给夫琅和费衍射理论的研究和充分认识衍射现象的特征带来很大方便。由夫琅和费衍射的实质可以看出，衍射图样是衍射屏的傅里叶变换功率谱，是一种强度分布。因此，可以用两种方法实现夫琅和费衍射实验的仿真：一是通过推导衍射屏孔径的夫琅和费衍射强度分布公式得到观察屏上强度分布与位置的关系，然后利用绘图函数将其光强度分布曲线和衍射图样绘出；二是利用傅里叶变换的方法，将衍射屏作为输入图像，经过傅里叶变换处理，得到衍射屏的频谱，从而得到其衍射图样。前者适合对一些形状简单，能够得到明确的衍射强度分布公式的孔径（如单缝、双缝、矩形孔、多缝等）进行仿真；后者则对任何形状的孔径均能得到相应的衍射图样。为进行数值计算，需将(7.2-18)式离散化，并用二维快速傅里叶变换FFT取代(7.2-18)式中的F直接计算： (7.2-25)将衍射屏制作成输入图像，并将其存为BMP格式文件，用imread()函数读入，然后利用MATLAB软件中的傅里叶变换函数fft2()，对输入的衍射屏函数进行傅里叶变换，得到其傅里叶频谱。由函数fft2()实现的傅里叶变换频谱的直流分量位于图像的左上角，而由透镜实现的光学傅里叶变换的直流分量位于图像中心，因此为了得到模拟的光学傅里叶变换，需调用函数fftshift()将零频移到频谱中心。通过这种方法，能够得到形状复杂的衍射屏的衍射图样。(b) l=589.3nm, a=0.005mm(a) l=589.3nm, a=0.05mm(c) l=350.0nm, a=0.005mm图11 单缝的夫琅和费衍射仿真实验结果图11是使用方法一得到的单缝夫琅和费衍射仿真结果：其中图11(a)所取参数为入射光波长l= 589.3nm，狭缝宽a=0.05mm，接收屏与透镜距离为f=64mm ；图11(b)中的入射光波长不变，狭缝宽为a=0.005mm；图11(c)中的入射光波长l=350.0nm，狭缝宽a=0.005m