第二章—非线性方程求根.ppt

第二章非线性方程求根,本章内容,二分法迭代法牛顿迭代法与弦割法非线性方程组牛顿法求根迭代法的收敛阶和Aitken加速方法（*）,2.1引言,在科学研究和工程问题中，常常会遇到非线性方程或非线性方程组的问题。例如解4次代数方程或超越方程一般的，我们记非线性方程为,建筑机械中常使用阶梯柱，需要其整体稳定性，临界力Pcr由下式给出,等截面均质悬臂梁的固有频率由下式给出,非线性方程求根,软弹簧变形大，O点位移大。超静定，非线性,未知量:ux，uy,三弹簧的伸长量分别为,变形后，各弹簧与水平线的夹角分别为,节点平衡方程,非线性方程组,三弹簧换成三根铰接杆，杆的拉伸刚度很大。节点O的位移是“无穷小量”，可以线性化,变形后，各杆与水平线的夹角不变,节点平衡方程,线性方程组,求解f(x)=0，解x*称为方程的根，即f(x)的零点;f(x)为n次多项式就是n次代数方程;(n=5，不能用解析式表示解)f(x)为超越函数时，就是超越方程。若f(x)=(x-x*)mg(x)，g(x)0，m为正整数，则称x*为f(x)=0的m重根，或为f(x)的m重零点。m=1时，称x*为f(x)=0的单根。,线性的（一次解）单个方程多项式（n个解）代数方程非线性超越的（解的数目不定）线性（一组解）方程组非线性（多组解）f(x)=0的根，当f(x)复杂时，很难求得。实际应用中只需求得满足一定精度的近似根即可（找近似有效简单方法）。,方程求根特点1.根的存在性方程有没有根，有几个根？定理1（代数基本定理）：在复数范围内，n次代数方程至少有一个根。f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=0其中：n正整数，x复变量，a0an为实、复常数。定理2：n次代数方程有n个根。2.根的分布（有根区间）求根的隔离区间，定一个a,b，使a,b内有且只有一个x*使f(x*)=0,定理3：设函数f(x)在a,b内连续，严格单调，且f(a)*f(b)0，则在a,b内f(x)=0有且仅有一个实根。通常有两种做法来确定隔离区间：（1）作y=f(x)的草图，看f(x)在x轴的交点位置来定区间a,b（2）逐步搜索，在连续区间a,b内，选取适当的x1，x2(a,b)，若f(x1)*f(x2)0，即f(x)为一单调递增函数。那么f(x)=0在（-，+）内最多只有一个实根。又f(0)=03-3*02+4*0-3=-30f(0)*f(2)0，则收敛速度增大。常用二分法获取初值x0，再进行迭代求解。迭代过程中若f(x0)0或迭代次数超过某个上界M,仍达不到要求的精度,则迭代计算失败。,x*,例1：,4弦割法,（一）.引入意义牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点，但每迭代一次都要计算导数,当比较复杂时,不仅每次计算带来很多不便，而且还可能十分麻烦，如果用不计算导数的迭代方法，往往只有线性收敛的速度。本节介绍的弦截法便是一种不必进行导数运算的求根方法。弦截法在迭代过程中不仅用到前一步处的函数值，而且还使用处的函数值来构造迭代函数，这样做能提高迭代的收敛速度。,（二）.弦割法基本思想,三.弦割法几何意义,例：用弦割法解方程的根,达到精度10-8,迭代5次,x0=0.5;x1=0.4;x2=0.3430962343x3=0.3473897274,x4=0.3472965093x5=0.3472963553x6=0.3472963553,例：用正割法求方程在初始值邻近的一个根。要求解：取,令利用正割迭代公式计算过程略，取近似根则可满足精度要求。,6解非线性方程组的迭代法,在迭代点x(k)，将各函数作一阶Taylor展开,另展开式等于零，得到下一个迭代点x(k+1),5.6迭代法的收敛阶和Aitken加速方法,一.迭代过程的收敛速度二.常见迭代过程的收敛阶三.埃特金(Aitken)加速法四.斯蒂芬森(Steffensen)法,6迭代法的收敛阶和Aitken加速方法,一.迭代过程的收敛速度一种迭代法要具有实用价值，不但要肯定它是收敛的，还要求它收敛的比较快。所谓迭代过程的收敛速度，是指在接近收敛时迭代误差的下降速度，具体地说，如果迭代误差当时成立则称迭代过程是p阶收敛的。,特别地，p=1(且01时称超线性收敛，其中p=2时称二次收敛（或称为平方收敛）。p越大，xk收敛于x*的速度就越快。p值的大小是衡量一个迭代过程优劣的标志之一。,二.常见迭代过程的收敛阶一般迭代法：p1，线性收敛牛顿法：p2，二阶收敛（当x*为二重根时，线性收敛）弦割法：p=1.618，超线性收敛对收敛较慢数列xk，一个补救的方法是采用加速公式。,三.埃特金(Aitken)加速法,5.