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多元函数的极值和最值,条件极值拉格朗日乘数法,小结思考题,第八节多元函数的极值与拉格朗日乘数法,第八章多元函数微分法及其应用,一、多元函数的极值和最值,播放,1、二元函数极值的定义,(1),(2),(3),例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点(具有偏导数的函数的极值点）,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,解,求最值的一般方法：将函数在D内的所有可能极值点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,解,如图,解,由,对自变量有附加条件的极值.,其他条件.,无条件极值,对自变量除了限制在定义域内外,并无,条件极值,二、条件极值拉格朗日乘数法,解,例5,已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大？,设长方体的长、宽、高分别为,由题意,长方体的体积为,且长方体体积,一定有最大值,体体积最大.,故当的长、宽、高都为6时长方,由于V在D内只有一个驻点,上例的极值问题也可以看成是求三元函数,的极值,要受到条件,的限制,这便是一个条件极值,问题.,目标函数,约束条件,有时条件极值,目标函数中化为无条件极值.,可通过将约束条件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介绍解决条件极值问题的一般,方法:,下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法,解,则,解,可得,即,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,思考题,思考题解答,二元函数,在点,处有极值,(不妨设为极小值),是指存在,当点,且,沿任何曲线趋向于,一元函数,在点x0,处取得有极小值,表示动点,且,沿直线,并沿该直线(即沿平行于Ox轴的正负,方向)趋向于,它们的关系是:,在点,取得极大(小)值,取得极大(小)值.,作业,习题9-8,(118页),2.5.7.10.,练习题,练习题答案,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多
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