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文档简介

第七讲不定积分的分布积分法/有理函数积分法,1分部积分法2几类特殊函数的不定积分,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、基本内容,例1求积分,解（一）,令,显然，选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3求积分,解,令,例4求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.,例5求积分,解,例6求积分,解,注意循环形式,例7求积分,解,令,解,两边同时对求导,得,合理选择，正确使用分部积分公式,二、小结,思考题,在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？,思考题解答,注意前后几次所选的应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,2几类特殊函数的不定积分,2.1有理函数积分法2.2三角函数有理式积分2.3简单无理式的积分.,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,2.1、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,（1）分母中若有因式，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将值代入,例2,例3,整理得,例4求积分,解,例5求积分,解,例6求积分,解,令,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,2.2三角函数有理式的积分,（万能置换公式）,例7求积分,解,由万能置换公式,例8求积分,解（一）,解（二）,修改万能置换公式,令,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,例9求积分,解,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例10求积分,解令,2.3简单无理函数的积分,例11求积分,解令,说明,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,例12求积分,解,先对分母进行有理化,原式,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公式）,（注意：万能公式并不万能）,四、小
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