第二章拉普拉斯变换

主要内容,第一节拉普拉斯变换简介第二节拉普拉斯变换的性质第三节拉普拉斯反变换第四节用拉普拉斯变换解线性微分方程,拉普拉斯变换(LaplaceTransform)（简称拉氏变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法。,第一节拉普拉斯变换简介,原函数(OriginalFunction),象函数(ImageFunction),一、拉普拉斯变换的定义,设时间函数,则的拉普拉斯变换定义为,一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：,(1)在t0。,其拉氏变换为,（六）正弦函数,其拉氏变换为,（七）余弦函数,(八)幂函数,其拉氏变换为,注:欧拉公式,一、线性性质(Linearity),第二节拉普拉斯变换的性质,线性性质指同时满足叠加性和齐次性。,齐次性(HomogeneityProperty)：指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：，则。,则,例2-2求。,解：,二、延时定理（Time-ShiftTheorem）,若有，对任意实数a,则,三、周期函数的拉氏变换,若函数是以T为周期的周期函数,即，则有,四、复数域位移定理(Complex-ShiftingTheorem),若，对于任意常数a(实数或复数)，有,五、时间尺度改变性质(ChangeofTimeScale),时间尺度改变性质又称相似定理或称尺寸变换特性(ScalingProperty)或称压扩特性(CompandingProperty)。,若，a是任意常数，则,六、微分性质(DifferentiationProperty),f(0)为时间函数f(t)在t=0处的初始值。注意，本书假设f(0-)=f(0+)=f(0)。,推论若，则,特别地，当时，有,七、积分性质(IntegrationProperty),其中,当初始条件为零时，,八、初值定理(InitialValueTheorem),若，且存在，则,九、终值定理(FinalValueTheorem),解：由初值定理和终值定理得,例2-8已知（a0），求。,十、复微分定理(Complex-DifferentiationTheorem),十一、复积分定理(Complex-IntegrationTheorem),十二、卷积定理(ConvolutionTheorem),两函数f1(t)和f2(t)的卷积定义为,卷积满足以下性质：,（1）交换律,（2）结合律,（3）分配律,拉氏变换的卷积定理：,则,第三节拉普拉斯反变换,已知象函数，求其原函数的变换称作拉氏反变换（InverseLaplaceTransform），记为：，并定义为,通常求拉氏反变换的方法有：,(1)查表法,(3)部分分式法,(2)有理函数法,一般象函数可以表示成如下的有理分式,式中，和分别为F(s)的极点和零点，它们是实数或共轭复数，且nm。根据极点种类的不同，将上式化为部分分式之和，有以下两种情况。,一、F(s)无重极点的情况,当F(s)无重极点时，即只有各不相同的单极点（DistinctPoles）。F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：,因此,式中，ci为待定常数，称为F(s)在极点pi处的留数.,例2-11已知,试求原函数。,解：将F(s)写成部分分式形式,式中,于是，有,二、F(s)有重极点的情况,假设F(s)有r个重极点(MultiplePoles)p1，其余极点均不相同，则F(s)可表示为,式中,为重极点对应的待定系数,求法如下：,其余系数的求法与第一种情况所述的方法相同，即,因此，F(s)的拉氏反变换为,例2-12已知，试求原函数f(t)。,解：将F(s)写成部分分式形式，有,式中，c11,c12,c13为三重极点s=-2所对应的系数，根据公式式计算,c2,c3为单极点对应的系数，根据公式计算,于是其象函数可写为,查拉氏变换表可求得原函数为,第四节用拉普拉斯变换解线性微分方程,利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：,(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；,(2)由代数方程求解出象函数；,(3)取拉氏