导数与最值解题方法指导.doc

当求解函数的最值问题时，所用的一般都是配方法、二次函数图象、反函数法、换元法、判别式法或基本不等式等常用的方法，但有些问题仅用上述初等方法不能解决或解答起来较繁琐，学了导数后，这种困惑大多可迎刃而解。本文以几道典型题目为例，和大家共同探讨用导数求最值的方法步骤以及需要注意的问题。一、求函数在特定区间上的最值例1：求函数f(x)=-4x+6在区间1，5内的最大值和最小值。题目分析：函数在特定区间上的最值一般有两种情况：（1） 如果函数 f (x)在a, b上单调增加(减少)，则 f (a)是 f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f (b)是 f (x)在a, b上的最大值(最小值)。(2)如果函数在区间a, b 内有极值,将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.正确解答：=2x-4，令=0，即2x-4=0，得x=2。x1（1，2）2（2，5）5y负0正y3减2增故函数f(x) 在区间1，5内有极小值为2，最大值为，最小值为2 。总结升华：求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a ,b)内的极值(极大值或极小值)（2） 求出区间端点处的函数值；（3）将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值。趁热打铁：求函数 y = x + 3 x9x在上4 , 4 的最大值和最小值。题目解析：(1) 由 f (x)=3x +6x9,得驻点为 =3，=1 驻点处的函数值为f (3)=27, f (1)=4(2) 区间端点4 , 4 处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76(3) 比较以上各函数值，可知函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (3)=27 。警铃长鸣：1、看清楚题目中给的条件到底是开区间还是闭区间，若是闭区间，则将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值；若是开区间，则不需要和端点值比较。2、求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。二、实际应用中的最值问题例2：把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？题目分析：建立面积和正方形的周长的函数关系，再求最小值正确解答：设一段长为xcm，则另一段长(16x)cm面积和S2，令S0有x8列表：x(0，8)8(8，16)S0当x8时，S有最小值8cm2总结升华： 这是解实际应用题的一般方法先构造函数关系，再求满足条件的解，极值或最值。趁热打铁：如图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。题目解析：设点B的坐标为(x,0)且0x2,f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2, 点C的坐标为(4-x,0), |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x