2013中考数学分类复习-三角形

2013中考数学分类复习 三角形一、选择题1. （2012宁夏区3分）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是【 】 A13 B17 C22 D17或22【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：若4为腰长，9为底边长，由于4+49，则三角形不存在；9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边。这个三角形的周长为9+9+4=22。故选C。2. （2012湖北荆门3分）如图，ABC是等边三角形，P是ABC的平分线BD上一点，PEAB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q若BF=2，则PE的长为【 】A 2 B 2 C D 3【答案】C。【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。【分析】ABC是等边三角形，点P是ABC的平分线，EBP=QBF=30，BF=2，FQBP，BQ=BFcos30=2。FQ是BP的垂直平分线，BP=2BQ=2。在RtBEF中，EBP=30，PE=BP=。故选C。3. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC若ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】A2 B3 C D【答案】A。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。【分析】延长BC至F点，使得CF=BD，ED=EC，EDB=ECF。EBDEFC（SAS）。B=F。ABC是等边三角形，B=ACB。ACB=F。ACEF。AE=CF=2。BD=AE=CF=2。故选A。4. （2012四川广安3分）已知等腰ABC中，ADBC于点D，且AD=BC，则ABC底角的度数为【 】A45 B75 C45或75 D60【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】根据题意画出图形，注意分别从BAC是顶角与BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案：如图1：AB=AC，ADBC，BD=CD=BC，ADB=90。AD=BC，AD=BD。 B=45。即此时ABC底角的度数为45。如图2，AC=BC，ADBC，ADC=90。AD=BC，AD=AC，C=30。CAB=B=（1800A）2=75。即此时ABC底角的度数为75。综上所述，ABC底角的度数为45或75。故选C。5. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D， 点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为【 】A. 20 B. 12 C. 14 D. 13【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】AB=AC，AD平分BAC，BC=8，根据等腰三角形三线合一的性质得ADBC，CD=BD=BC=4。点E为AC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE=CE=AC=5。CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14。故选C。6. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知中， 是高和的交点，则线段的长度为（ ）. A B 4 CDB7、（2011浙江衢州，1,3分）如图，平分于点，点是射线 上的一个动点，若，则的最小值为（ ）A.1 B.2 C.3 D. 4第7题（第7题）8. （2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】A 2个 B 3个 C4个 D5个【答案】C。【考点】等腰三角形的判定。【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。 以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。9. （2011四川南充市，10，3分）如图，ABC和CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：tanAEC=;SABC+SCDESACE ;BMDM;BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个【答案】D考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；梯形中位线定理。专题：证明题。分析：根据等腰直角三角形的性质及ABCCDE的对应边成比例知，ACEC=ABED=BCCD；然后由直角三角形中的正切函数，得tanAEC=ACEC，再由等量代换求得tanAEC=BCCD；由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b22ab（a=b时取等号）解答；、通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答解答：解：ABC和CDE均为等腰直角三角形，AB=BC，CD=DE，BAC=BCA=DCE=DEC=45，ACE=90；ABCCDEACEC=ABED=BCCDtanAEC=ACEC，tanAEC=BCCD；故本选项正确；SABC=12a2，SCDE=12b2，S梯形ABDE=12（a+b）2，SACE=S梯形ABDESABCSCDE=ab，SABC+SCDE=12（a2+b2）ab（a=b时取等号），SABC+SCDESACE；故本选项正确；过点M作MN垂直于BD，垂足为N点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，N为中点，BMD为等腰三角形，BM=DM；故本选项正确；又MN=12（AB+ED）=12（BC+CD），BMD=90，即BMDM；故本选项正确故选D二、填空题1. （2012浙江宁波3分）如图，AEBD，C是BD上的点，且AB=BC，ACD=110，则EAB= 度【答案】40。【考点】等腰三角形的性质，平角定义，三角形内角和定理，平行线的性质。【分析】AB=BC，ACB=BAC。ACD=110，ACB=BAC=70。B=40，AEBD，EAB=40。2. （2012湖北随州4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 .【答案】6和4或5和5。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】当腰是6时，则另两边是4，6，且4+66，满足三边关系定理；当底边是6时，另两边长是5，5，5+56，满足三边关系定理。故该等腰三角形的另两边为 6和4或5和5。3. （2012湖北黄冈3分）如图，在 ABC 中，AB=AC，A=36 ，AB的垂直平分线交AC 于点E，垂足为点D，连接BE，则EBC 的度数为 .【答案】36。【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】DE是AB的垂直平分线，AE=BE。A=36 ，ABE=A=36。AB=AC，ABC=C=。EBC=ABCABE=7236=36。4. （2012湖北襄阳3分）在等腰ABC中，A=30，AB=8，则AB边上的高CD的长是 【答案】4或或。【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：（1）如图，当AB=AC时，A=30，CD=AC=8=4。（2）如图，当AB=BC时，则A=ACB=30。ACD=60。BCD=30CD=cosBCDBC=cos308=4。（3）如图，当AC=BC时，则AD=4。CD=tanAAD=tan304=。综上所述，AB边上的高CD的长是4或或。5. （2012四川广元3分） 已知等腰三角形的一个内角为80，则另两个角的度数是 【答案】50，50或80，20。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为80时，另外两个内角=（18080）2=50；（2）若等腰三角形的底角为80时，顶角为1808080=20。等腰三角形的一个内角为80，则另两个角的度数是50，50或80，20。6. （2012山东济宁3分）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，BAE的平分线交ABC的高BF于点O，则tanAEO= 【答案】。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】ABC是等边三角形，ABC=60，AB=BC。BFAC，ABF=ABC=30。AB=AC，AE=AC，AB=AE。AO平分BAE，BAO=EAO。在BAO和EAO中，AB=AE，BAO=EAO，AO=AO，BAOEAO（SAS）。AEO=ABO=30。tanAEO=tan30=。7. （2012黑龙江龙东地区3分）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 。【答案】8或或。【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】由已知的是一边上的高，分底边上的高和腰上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况： （1）如图，当AD为底边上的高时， AB=AC，ADBC，BD=CD，在RtABD中，AD=3，AB=5，根据勾股定理得：。BC=2BD=8。 （2）如图，当CD为腰上的高时，若等腰三角形为锐角三角形， 在RtACD中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：。BD=ABAD=54=1。 在RtBDC中，CD=3，BD=1，根据勾股定理得：。若等腰三角形为钝角三角形， 在RtACD中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：。BD=ABAD=54=9。在RtBDC中，CD=3，BD=9，根据勾股定理得：。综上所述，等腰三角形的底边长为8或或。三、解答题1（12分）（2011年达州）如图，ABC的边BC在直线m上，ACBC，且ACBC，DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DFEF (1)在图(1)中，请你通过观察、思考、猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明） (2)将DEF沿直线m向左平移到图(2)的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG猜想BCG与ACE能否通过旋转重合？请证明你的猜想 解:（6分）(1)AB=AE, ABAE2分(2) 将BCG绕点C顺时针旋转90后能与ACE重合（或将ACE绕点C逆时针旋转90后能与BCG重合），理由如下：3分ACBC，DFEF，B、F、C、E共线，ACB=ACE=DFE=90又AC=BC，DF=EF，DFE=D=45，在CEG中，ACE=90，CGE=DEF=90，CG=CE，4分在BCG和ACE中BCGACE（SAS）5分将BCG绕点C顺时针旋转90后能与ACE重合（或将ACE绕点C逆时针旋转90后能与BCG重合）6分2（2006锦州）.如图，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由. 解.(1)猜想：AF=BD且AFBD.1分 证明：设AF与DC交点为G. FC=DC，AC=BC，BCD=BCA+ACD， ACF=DCF+ACD，BCA=DCF=90， BCD=ACF. ACFBCD. AF=BD.4分 AFC=BDC. AFC+FGC=90, FGC=DGA， BDC+DGA=90. AFBD.7分 AF=BD且AFBD. (2)结论：AF=BD且AFBD. 图形不惟一，只要符合要求即可. 画出图形得1分，写出结论得1分，此题共2分.如： CD边在ABC的内部时；CF边在ABC的内部时. 3、（2009年牡丹江）已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F解：图2成立；图3不成立2分图2ADBCEMNF 证明图2： 过点作 则 再证 有 由信息可知 4分 图3不成立，的关系是： 2分4. 如图1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧， BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM、PN； (1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证：BPMCPE；k 求证：PM = PN； (2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时 PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。aABCPMNABCMNaPABCPNMa图1图2图3. (1) 证明 j 如图2，BM直线a于点M，CN直线a于点N， BMN=CNM=90，BM/CN，MBP=ECP， 又P为BC边中点，BP=CP，又BPM=CPE，BPMCPE， k BPMCPE，PM=PE，PM=ME，在RtMNE中，PN=ME， PM=PN； (2) 成立，如图3， 证明 延长MP与NC的延长线相交于点E，BM直线a于点M，CN直线a于点N， BMN=CNM=90，BMN+CNM=180，BM/CN，MBP=ECP， 又P为BC中点，BP=CP，又BPM=CPE，BPMCPE，PM=PE， PM=ME，则在RtMNE中，PN=ME，PM=PN。 (3) 四边形MBCN是矩形，PM=PN成立。5.（2011锦州） 如图(1)(3)，已知AOB的平分线OM上有一点P，CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设AOB(0180)，CPD.(1)如图(1)，当90时，试猜想PC与PD，PDC与AOB的数量关系(不用说明理由)；(2)如图(2)，当60，120时，(1)中的两个猜想还成立吗？请说明理由(3)如图(3)，当180时，你认为(1)中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由若2，求的值(1)(2)(3)解. (1)PCPD，PDCAOB.(2)成立. 理由如下：(3分)作PEAO于E，PFOB于F，如图(第25题)OP平分AOB，PEPF.在四边形EOFP中，AOB60，PEOPFO90，EPF120，即EPCCPF120.又CPD120，即DPFCPF120.EPCDPF.EPCFPD.PCPD.(7分)PDC30.AOB60，PDCAOB.(8分)(3)成立PDCAOB，PODAOB，PDCPOD.又DPGDPO，来源:Zxxk.ComPGDPDO.又2，.(12分)来源:学|科|网Z|X|X|K6(2012铁岭)已知ABC是等边三角形. （1）将ABC绕点A逆时针旋转角 （0 180），得到ADE，BD和EC所在直线相交于点O. 如图 ，当 =20时，ABD与ACE是否全等？ （填“是”或“否”），BOE= 度；当ABC旋转到如图 所在位置时，求BOE的度数； （2）如图 ，在AB和AC上分别截取点B和C，使AB= AB,AC= AC,连接BC，将ABC绕点A逆时针旋转角 （0 180），得到ADE ，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图 探索BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由.解