两点之间的距离公式和最短路线问题

18.3两点之间的距离公式和最短路线问题,探究一：两点间的距离公式,那么,如果数轴上的点A1，A2,分别表示实数x1，x2，,两点,A1，A2间的距离,记作A1A2，,A1A2=,x2-x1,对于平面上的两点A1，A2间的距离是否有类似的结论呢？,运用勾股定理，,创设情境,就可以推出平面上两点之间的距离公式.,问题1如图，平面上两点A(3,0)，B(0,4)，如何计算A,B两点之间的距离AB？,探究新知,解：,A(3,0)，B(0,4),OA=3，,AB=,=5,OB=4,问题2如图，平面上两点A(1,2)，B(5,5)，如何计算这两点之间的距离AB？,探究新知,解：,A(1,2)，B(5,5),AC=,AB=,=5,5-1,=4,BC=,5-2,=3,两点之间的距离公式.,问题3一般地，设平面内任意两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，如图，如何计算A，B两点之间的距离AB？,探究新知,CB=,AB=,x2-x1,CA=,BA=,y2-y1,AB2=,CB2+CA2,=(x2-x1)2+(y2-y1)2,AB=,解：,这就是平面直角坐标系中的,则A，B两点之间的距离为,平面内直角坐标系中两点之间的距离公式：,一般地，设平面内任意两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，,AB=,探究新知,对应练习求下列两点之间的距离.,(1)A(-1,2)，B(-5,-6),AB=,解：,方法总结：,只要把这两点的坐标代入公式并进行计算即可.,求平面直角坐标系中两点间的距离，,对应练习求下列两点之间的距离.,(2)A(1,-5)，B(7,3),(3)A(-1,1)，B(1,3),AB=,解:,=10,AB=,解:,探究二：最短路线问题,题型一：平面内的最短路线问题,1、高速公路的同一侧有A,B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA=2km，BB=4km，AB=8km.要在高速公路上A,B之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短.求这个最短距离.,A,B,M,N,A,B,C,P,D,则CBD为直角三角形.,AA=2km，BB=4km，AB=8km.,CD=,BD=,在RtCBD中，,=10(km),最短距离为,解：,作点A关于MN的对称点C，,连接CB，,交MN于点P，,连接AP，,则点P即为出口的位置.,过点C作CDBB，,交BB的延长线于点D，,AB,=8(km)，,BB+BD,=4+2,=6(km),AP+PB=,CP+PB,=CB,=10(km),题型一：平面内的最短路线问题,2、如图，A，B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC=10km，BD=30km，且CD=30km，现在要在河边建一个自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置P，是铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？,A,B,C,D,则ABE为直角三角形.,A,P,E,AE=,BE=,在RtABE中，,=50(km),最短距离为AP+PB,总费用为,AC=10km，BD=30km，CD=30km,解：,作点A关于CD的对称点A，,连接AB，,交CD于点P，,连接AP，,则点P即为水厂的位置.,过点A作AEBD，,交BD的延长线于点E，,CD,=30(km)，,BD+DE=,30+10,=40(km),=AP+PB),=AB,=50(km）,503=,150（万元）.,1、两点之间，最短！2、一个圆柱体的侧面展开图是,长方形的长是,正方形的宽是.,线段,长方形,圆柱的高,底面圆的周长,知识回顾,底面圆的周长,圆柱的高,1、如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点C处的食物，沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(的值取3),题型二：几何体中的最短路线问题,B,D,高12cm,C,A,长18cm,综上所述，蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.,9cm,=15(cm),B,D,B,D,解：,在RtABC中，ABC=90，BC=9cm，AB=12cm,将圆柱侧面展开成长方形，,则AC为蚂蚁爬行的最短路程.,2、有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，取3）?,A,B,A,B,A,B,题型二：几何体中的最短路线问题,解：,将油罐侧面展开成长方形，,则AB为梯子的最短距离.,AA=,2r,=232=,12(m),又AB=5(m),由勾股定理，得,=13(m),AB=,梯子最短需13米,最后利用勾股定理计算.,解决几何体表面上两点间的最短路程问题的方法：,它运用的是化折为直的思想方法.,将几何体表面展开，,即将立体几何问题,然后利用“两点之间，线段最短”去确定线路，,转化为平面几何问题，,3、如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？,题型二：几何体中的最短路线问题,分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？,(1)经过前面和上底面;,(2)经过前面和右面;,(3)经过左面和上底面.,(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为,解:,AB,(cm),(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为,AB,(cm),(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为,AB,(cm),4、如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.,A,B,题型二：几何体中的最短路线问题,解：,在RtABC中，ACB=90，AC=2，BC=1,AB=,蚂蚁爬行的最短距离是,将正方形的侧面展开成长方形，,则AB为蚂蚁爬行的最短路程.,5、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？,B,A,解：台阶的展开图如图，连接AB.,在RtABC中，BC=55cm，AC=48cm,题型二：几何体中的最短路线问题,AB=,(cm),48cm,55cm,这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是cm,1、如果盒子换成长为40cm，宽为30cm，高为120cm的金鱼缸，如果鱼缸中的A点有一条金鱼,它想尽快吃到B点的食物，那么金鱼游的最短路程又是多少呢？,C,D,拓展提升,解：连接AB和AC,在RtADC中,AC,=50(cm),在RtABC中,AB,=130(cm),金鱼游的最短路程是130cm.,40cm,30cm,120cm,拓展提升,2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）,A11cm,C,D,B,B,拓展提升,3我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周四尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”，题意是：如图所示，把枯木看成一个圆柱体，因一丈为十尺，则圆柱体高为20尺，底面周长四尺，有葛藤自A点缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是（）尺,A25,C,D,B,B,拓展提升,4如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm,A,C,D6,B,B,本节课你有什么收获？,则A，B两点之间的距离为,1