函数单调性与最大最小值ppt课件

单调性与最大（小）值,曹利霞,问题提出,德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：,函数的单调性,思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？,知识探究（一）,考察下列两个函数:,（1）；(2),思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？,思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？,思考3:如图为函数在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当时，与的大小关系如何？,思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数在区间D上是增函数”？,对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则称函数在区间D上是增函数.,知识探究（二）,考察下列两个函数:,（1）；(2),思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？,思考2:我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数在区间D上是减函数”？,对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当,则称函数在区间D上是减函数.,思考3：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数的单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？函数的单调区间如何？,.,1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；,注意：,2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2)分别是增函数和减函数.,下面是常见的基本初等函数的单调区间（应熟记）,.,在增函数在减函数,在增函数在减函数,在(-,+)是减函数,在(-,0)和(0,+)是减函数,在(-,+)是增函数,在(-,0)和(0,+)是增函数,.,例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？,解：函数y=f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中y=f(x)在区间-5,-2),1,3)是减函数，在区间-2,1),3,5上是增函数。,知识迁移,应用提高,思考:能否写成-5,-2)1,3)?,.,注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；,.,例2、证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。,证明：,设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则,f(x1)f（x2）（3x12）（3x22）,3（x1x2）,由x1x2，得x1x20,于是f（x1）f（x2）0,即f（x1）f（x2）,所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。,取值,作差,变形,定号,下结论,.,证明函数单调性的方法步骤,1任取x1，x2D，且x1x2；2作差f(x1)f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,.,证明：,设x1，x2（0，+），且x1x2，则,f（x）在定义域上是减函数吗？,减函数,f（x）在定义域上是减函数吗？取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）,小结,利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,1.取数:任取x1，x2D，且x1x2；2.作差:f(x1)f(x2)；3.变形:通常是因式分解和配方;4.定号:判断差f(x1)f(x2)的正负;5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.,.,1、如果，且时，有，则函数在上是()A增函数B减函数C先减后增D不能确定,2、函数在区间（2，4）上为()A增函数B减函数C先减后增函