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知识改变命运 教育开创未来专题讲座函数与导数1. 已知函数(1) 若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1，则；(2) 若0，1，函数图象上任一点切线的斜率为，求时的取值范围。解答（1）设A（，B（是函数图象上任意不同两点，则，显然，不妨设，则，即，构造函数，则在R上是减函数，则在R上恒成立，故，解之得（2）当0，1时，即对任意的0，1，即在0，1成立，由于，则必需满足或或，解得此题融三次函数、导数、二次函数等问题于一体，在方法上主要是利用函数的单调性、区间最值等问题。2（本小题满分12分）设函数f(x)|xm|mx，其中m为常数且m0。 （1）解关于x的不等式f(x)0；（2）试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.解：（1）由f(x)0得，|xm|mx，得mxxmmx，即 当m=1时，x当1 m0时，x当m1时，x综上所述，当m1时，不等式解集为x|x当m=1时，不等式解集为x|x当1m0时，不等式解集为x|x（2）f(x)= m0，f(x)在m，+)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，则f(x)在(，m)上是减函数或常数，(1+m)0即m1，又m0，1m0。故f(x)存在最小值的充要条件是1m0，且f(x)min= f(m)=m2. 注： 含参数的不等式要注意分类讨论 3已知函数（1）若，求函数的值域；（2）若，试确定与的大小，并加以证明；（3）若，试确定与的大小，解：（1）当时，而在连续，则在上是增函数，即函数的值域为（2）令，则，由且，得，即当时，时，而在上是连续的，则为的最小值，从而当时，因此，当且仅当时等号成立；（3）当为偶数时，；当为奇数时，证明过程与（2）相同，从略。 4 已知函数f (x ) =x2 + lnx.（I）求函数f (x )在1，e上的最大、最小值；（II）求证：在区间1，+上，函数f (x )的图象在函数g (x ) =x3的图象的下方；（III）求证：(x )n(xn)2n2（nN*）.解：（I）易知f (x )在1，e上是增函数. f (x )max = f (e ) =e2 + 1；f (x )min = f (1 ) =.（II）设F (x ) =x2 + lnxx3，则(x ) = x +2x2 =. x1， (x )0，故F (x )在(1，+)上是减函数，又F (1) =0， 在(1，+)上，有F (x )0，即x2 + lnxx3，故函数f (x )的图象在函数g (x ) =x3的图象的下方.（III）当n = 1时，不等式显然成立；当n2时，有：(x )n(xn) = (x +)n(xn +)=xn1+xn2+ +x=xn2 +xn4 + +x=(xn2 +) +(xn4 +) + +(+ xn2)(2+ 2+ + 2) = 2n2.注：第二问可数学归纳法证5.已知函数（）求函数的最大值；（）当时，求证:（）解： ,令得当时， 当时，又当且仅当时，取得最大值0 （）证明： 由（1）知又 6已知函数在定义域上可导，设点是函数的图象上距离原点最近的点. (1) 若点的坐标为, 求证：;(2) 若函数的图象不通过坐标原点, 证明直线与函数的图象上点处切线垂直. 证：(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点，则|OQ| 2 = x2 + f 2 ( x )， 设F(x) = x2 + f 2 ( x ), 则F(x)=2x +2f (x)f ( x ) 已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点， |OP|2为F(x)的最小值，即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值 F(a)=0， 即 2a+2f (a)f (a)=0 (2) 线段OP的斜率为，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f (a) 由(1)知f (a)f (a) = a，图象不过原点，a 0，f (a) = 1OPl，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.7. 如图所示，曲线段OMB是函数轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交轴于P，交线段AB于Q，（1）试用表示切线PQ的方程；（2）设QAP的面积为是单调递减，试求出的最小值；（3）横坐标的取值范围。解:（1）（2）令由得上单调递减，故（3）当单调递增，得，则QAP的面积S点的横坐标则P点横坐标的取值范围为.8. 用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）解:设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为高为,设容器的容积为Vm3，底面等腰三角形底边上的高令当有最大值. 这时容器的底面等腰三角形的底边长为6m，腰长为4m，容器的高为5.6m. 注： 以下各题难度较大，技巧性强，供优生参考9设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，() 判断函数在上的单调性； () 设，比较与的大小，并证明你的结论；（）设，若，比较与的大小，并证明你的结论.解：()由于得，而，则，则，因此在上是增函数.()由于，则，而在上是增函数，则，即，（1），同理 （2）（1）+（2）得：，而，因此 .（）证法1: 由于，则，而在上是增函数，则，即， 同理 以上个不等式相加得：而证法2：数学归纳法（1）当时，由（）知，不等式成立；（2）当时，不等式成立，即成立，则当时， +再由()的结论, +因此不等式对任意的自然数均成立. 10（本题14分）.规定：两个连续函数（图象不间断）、在闭区间a，b上都有意义，我们称函数在a，b上的最大值叫做函数与在a，b上的“绝对差”.（1）试求函数与在闭区间3，3上的“绝对差”；（2）设函数及函数都定义在已知区间a，b上，记与的“绝对差”为若的最小值是，则称可用“替代”，试求m0的值，使可用“替代” 解：（1）记则 由，得或（2分） （4分） 故所求“绝对差”为12 .（6分）（2）由于 从而令，得（8分） 由于 （12分） 当时，最小. 故当时，可用“替代”.（14分）11.已知函数的定义域为I，导数满足且，常数为方程的实数根，常数为方程的实数根。（I）若对任意，存在，使等式成立。求证：方程不存在异于的实数根；（II）求证：当时，总有成立；（III）对任意，若满足，求证：证明：（I）假设方