同济大学高等数学第七版§1.10--闭区间上连续函数的性质ppt课件

.,第十节,一、最值定理,二、零点定理与介值定理,闭区间上连续函数的性质,.,一、最大值与最小值,举例：,最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,函数f(x)=1+sinx在区间0，2p上有最大值2和最小值0,.,函数f(x)=sgnx在区间(-，+)内有最大值1和最小值-1,一、最大值与最小值,最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,举例：,.,一、最大值与最小值,最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,在开区间(0，+)内，sgnx的最大值和最小值都是1,举例：,.,但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值,一、最大值与最小值,最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,举例：,.,注1：定理1说明，如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，那么至少有一点x1a，b，使f(x1)是f(x)在a，b上的最大值，又至少有一点x2a，b，使f(x2)是f(x)在a，b上的最小值,定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值,.,注2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,在开区间(a，b)考察函数y=x,函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值,定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值,.,注2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值,在闭区间0，2考察函数,函数y=f(x)在开区间0，2内既无最大值又无最小值,.,证明设函数f(x)在闭区间a，b上连续由定理1，函数f(x)在区间a，b上有最大值M和最小值m，使任一xa，b满足mf(x)M上式表明，f(x)在a，b上有上界M和下界m，因此函数f(x)在a，b上有界,定理1（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值,.,二、零点定理与介值定理,注:1.如果x0使f(x0)=0则x0称为函数f(x)的零点,几何解释,定理2(零点定理),使得,.,二、零点定理与介值定理,定理2(零点定理),使得,例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根证明设f(x)=x3-4x2+1则f(x)C01并且f(0)=10f(1)=-20根据零点定理在(01)内至少x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x,.,12,定理3(介值定理),设函数f(x)在闭区间ab上连续,且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(ab)内至少有一点x使得,几何意义:,连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少有一个交点,.,13,定理3(介值定理),证,零点定理,设函数f(x)在闭区间ab上连续,且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(ab)内至少有一点x使得,设j(x)=f(x)-C则j(x)在闭区间ab上连续,.,14,几何意义:,之间的任何值(不会有任何遗漏).,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,与最