离散时间信号描述.doc

一、离散时间信号描述离散时间信号的时域描述1 信号的描述：时域、频域、变换域 功率谱 概率密度2 信号的性质：确知、随机、平稳非平稳、周期非周期、对称性、奇偶性等;3 信号的分类信号确定性信号(能量、功率)随机信号(功率信号)周期信号非周期信号P平稳非平稳各态遍历非各态遍历4信号的分解：实序列的偶部和奇部 5信号的运算：序列的相加 z(n)=x(n)+y(n) 序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) 序列的移位 y(n)=x(n-n0) 序列的能量 6常见离散信号-序列 概念点：正弦信号的周期性判定7任意序列的单位脉冲序列表示 离散时间信号的变换域描述1Z变换的定义与收敛域 要点（1）序列x(n)的Z变换定义为 （2）Z变换存在的充分条件： 满足上式的Z变量取值的域称为收敛域。只要的增长速度小于，则Z变换就存在，一般收敛域用环状域表示。（3）Z变换的收敛域的特点收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有的收敛域是整个 z 平面。收敛域是连通的；收敛域内没有极点；收敛域由极点确定X(Z)的收敛域有多种形式；X(Z) + 收敛域，二者共同唯一确定x(n) 因此收敛与对于Z变换尤为重要，而序列的特性决定其Z变换收敛域。典型序列Z变换的收敛域（双边，因果，左、右序列）。2. 离散时间信号的傅里叶变换 要点（1）序列x(n)的DTFT定义为 （2）DTFT存在的充分条件： （3）DTFT具有唯一性和周期性（4）DTFT主要性质线性：设时移与频移共轭对称性质： 若令,则是上面的对应关系即为DFT的共轭对称性。时域卷积： （5）Z变换与DTFT（离散时间傅里叶变换）的关系（6）Z变换与连续信号拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系，S域到Z域的映射关系；3离散傅里叶变换（DFT） （1）DFT的定义要点：（1）物理概念：DTFT的等间隔采样；（2）变换区间：有限长N点（3）变换结果：与序列长度N有关，当N足够大时，的包络趋近于曲线（4）频谱分析的意义：表示频点的幅度谱线，如果是模拟信号的采样，采样间隔为T，则k与相应的模拟频率的关系为： 即。对模拟频率域而言，N点DFT意味着频域采样间隔为HZ。所以用DFT进行谱分析时，称为频率分辨率。而NT表示时域采样的区间长度(即观察时间或记录长度 )，显然为了提高分辨率就必须是记录长度足够大。（时宽和带宽的不确定性）（5）DFT的隐含周期性：1) 由DFT是DTFT的等间隔采样，由于以2为周期。2）由的周期性： 3）由时域抽样频域周期延拓，频域抽样时域周期延拓。DFT与Z变换(ZT)、连续信号傅里叶变换(CTFT)、离散傅里叶变换(DTFT)和傅里叶级数(DFS)的关系：其相互关联的是都是复频域的变换，只不过是变换区间在变化，由面到线再到点，再到主值区间。即由连续到离散再到有限长。（1）DFT与Z变换(ZT)是z平面单位圆上幅角为 的点，即将z平面上的单位圆N等分后的第k点。1）也就是z变换在单位圆上等间隔的采样值。 2）也可看作是对序列付氏变换的采样，采样间隔为：i. DFT与连续信号傅里叶变换(DTFT)ii. DFT与傅里叶级数(DFS)4线性卷积周期卷积与圆周卷积的关系（1）具有不同的卷积特性 线性卷积 周期卷积 圆周卷积 （2）对运算对象有不同要求1）线性卷积的对象可以是有限长或无限长非周期序列，若两个序列的长度分别为M和N，则卷积后的序列长度为L=M+N-1 2） 周期卷积的对象同周期的周期序列，周期卷积的结果也是同周期的周期序列。3）圆周卷积的对象是两个同长度（若长度不同可用补零的方法达到同长度）的有限长序列，圆周卷积的结果也是同一长度的有限长序列。（3）三种卷积之间的关系 圆周卷积是周期卷积的主值区间； 圆周卷积是线性卷积L点周期延拓的主值区间5用DFT对模拟信号进行频谱分析的误差:DFT(实际中用FFT计算)可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。 采样截短DFT(1) 混叠现象(由采样引起)： (2) 栅栏效应（由频域抽样引起）：减小栅栏效应方法：尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。 (3) 频率泄漏（由截断引起）： 根据傅里叶变换的频域卷积定理有 (4) DFT的分辨率： 参数选择的一般原则： a若已知信号的最高频率防止混叠，选定采样频率 b根据频率分辩率F，确定所需DFT的长度c和N确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度, 这里T是采样周期。6DFT的应用频谱分析、计算线性卷积等二、离散时间系统描述 1时域描述一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。即y(n)= Tx(n)对T加以种种约束，可定义出各类离散时间系统。离散时间系统最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。（1） 差分方程（2） 状态方程（3） 系统的冲激响应（4） 系统函数系统性质（1）. 线性系统（满足迭加原理的系统）（2）. 时不变系统（系统的特性不随时间而变化）（3.） 线性时不变系统（既满足迭加原理又具有时不变性）线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。我们知道，任一序列都可表示成单位脉冲序列的移位加权和当单位脉冲响应用h(n)表示时，对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h（n）来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。（4）系统的稳定性与因果性稳定系统：输入有界-输出有界(PIPO)。对线性时不变系统，稳定的充分必要条件为系统的冲激响应绝对可和。 因果系统： 系统的输出y（n）只取决于当前以及过去的输入，与未来的输入无关。对线性时不变系统，因果性的充分必要条件为： 或 Rx- |Z| 稳定系统的H（z）必在单位圆上收敛，即 存在。归纳上述性质，线性时不变系统因果稳定系统单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可积的，即 1Z| 其系统函数 H（z）在从单位圆到的整个区域收敛。H（z）的全部极点必在单位圆以内。这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统是最主要的系统。 全通系统：全通系统的极点与零点便以共轭倒易关系出现 线性相位系统：零点共轭倒易关系 最大最小相位延迟系统：最大最小相位超前系统：2变换域描述 （1）系统函数 H（z）：可用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|， 0r1 。 （2）系统频率响应： 要点：对于稳定的因果系统，如果输入一个频率为复正弦序列，则其输出为。 （3）系统频响的几何确定法：利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 三、抽样定理与内插恢复 两个内容:连续信号经理想抽样后时域、频域发生的变化（理想抽样信号与连续信号频谱之间的关系） 理想抽样信号能否代表原始信号、如何不失真地还原信号即由离散信号恢复连续信号的条件（抽样定理） 1理想采样过程描述：时域描述： 频域描述：利用傅氏变换的性质，时域相乘频域卷积，若 则有 与的关系：理想抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为Ws(采样角频率)。如果： 即连续信号是带限的，且信号最高频率不超过抽样频率的二分之一，则可不失真恢复。奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍：2抽样信号的内插恢复 工程上使用D/A转换器。 理论推导过程如下：（1） 频域讨论：当满足奈奎斯特采样定理时有： 这一过程可描述为： 或 将采样信号通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于WS/2，模植为T，采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱。 （2） 时域内插恢复 讨论采样信号通过理想低通滤波器H（jW）响应过程的时域描述。由 根据频域相