大学物理-高校出版社-罗圆圆主编-第11章_机械波基础

1,波 动,第十一章,（Wave）,2,第十一章 机械波基础,11.1 机械波的形成与传播 11.2 平面简谐波的表达式 波动微分方程11.3 波的能量与能流11.4 声波*11.5 惠更斯原理11.6 波的叠加原理 波的干涉11.7 驻波 半波损失11.8 多普勒效应,3,两类波的不同之处,机械波的传播需有传播振动的介质;,电磁波的传播可不需介质.,能量传播反射折射干涉衍射,两类波的共同特征,前言,4,一 机械波的形成,产生条件：1）波源；2）弹性介质.,波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.,机械波：机械振动在弹性介质中的传播.,11.1 机械波的形成与传播,5,横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.,（仅在固体中传播 ）,二 横波与纵波,特征：具有交替出现的波峰和波谷.,6,纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.,（可在固体、液体和气体中传播）,特征：具有交替出现的密部和疏部.,7,水的流动性和不可压缩性,作二维运动,水表面的波既非横波又非纵波：,水波中水质元,问：水波是纵波还是横波？,答：水波即不是是纵波也不是横波是混合波。,8,波线（wave line）,表示波的传播方向的射线（波射线）,波面（wave surface）,媒质振动相位相同的点组成的面（同相面）,波前（wave front）,某时刻波到达的最前面的波(振)面,波前,波前,波振面是平面的波,三 波线 波面 波前,9,10,四 波长 波的周期和频率 波速,波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.,O,y,A,11,周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间.,频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.,波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.,12,波速 与介质的性质有关， 为介质的密度.,横 波,固体,纵 波,液、气体,G切变模量,Y弹性模量,B体积模量,13,例1 在室温下，已知空气中的声速 为340 m/s，水中的声速 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？,在水中的波长,14,一、 简谐波（simple harmonic wave）,波称为简谐波（余弦波）,一维平面简谐波的表达式（波函数）,以机械波的横波为例，,设平面波沿 x方向以,速度 u 传播，,媒质均匀、无限大，无吸收。,11.2 平面简谐波的表达式 波动微分方程,15,或：沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。, 抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态） 将在较晚时刻于“下游”某处出现。,如何写出平面（一维）简谐波的波函数？, 须知三个条件：,1. 某参考点的振动方程( A, , ) 2. 波长 (或 u),u T ,3. 波的传播方向,16,以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波。取平衡位置在坐标原点o处的质元作参考，o点的振动表达式为：,时间推迟方法,，设任意一点 p 坐标为 x,方法一：,（或由运动的重复关系）,点O 的振动状态,17,t 时刻点 P 的运动,时刻点O 的运动,则点P 振动方程:,波函数,18,点 P 比点 O 落后的相位：,相位落后法,由相位关系：P点相位落后波源o的振动相位，所以就在o点振动表达式的基础上改变相位因子就得到了P的振动表达式,解法二：,19,点 P 振动方程:,波函数,20,波动方程的其它形式,波数-表示单位长度上波的相位变化,波动方程的复数表示,21,质点的振动速度，加速度：,22,1),向x轴负向传播,向x轴正向传播,平面谐波一般表达：,负（正）号代表向 x 正（负）向传播的简谐波,23,2）波的表达式的物理意义,当坐标 x 确定(即考察波线上的某一点) 表达式变成t 关系 表达了 x 点的振动 如图：,24,波线上各点的简谐运动图,25,当时刻 t 确定(即某一瞬时) 表达式变成-x关系 表达了 t 时刻空间各 点移分布波形图 如图:,26,图中b点比a点的相位落后：,从波形图可看出在同一时刻，距波源 o 分别为x1、x2两质点的相位差:,（记住！）,27,当 x、t 都变化时 表达了波线上所有质元在各个时刻的位移，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波） 如图：,x,o,t 时刻的波形曲线,（ 亦称空间周期）,t + 时刻的波形曲线,所以波动方程描述了波形的传播,28,29,1）波动方程？,例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振幅 ， ， . 在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求,解 ： 写出波动方程的标准式,30,2）求 波形图.,31,3） 处质点的振动规律并做图 .,处质点的振动方程,32,例2 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波线上点 A 的简谐运动方程 .,1）以 A 为坐标原点，写出波动方程,33,2）以 B 为坐标原点，写出波动方程,34,3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程,点 C 的相位比点 A 超前,点 D 的相位落后于点 A,35,4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差,36,一.机械波的能量 能量密度1. 机械波的能量每个质元振动所具有的动能每个质元形变所具有的势能,之和,11.3 波的能量 和能流,以沿 x 轴传播的平面简谐横波为例：,质量,质量线密度,37,质元振动的动能,质元形变势能,由波的表达式:,(弹性势能 =弹性拉力作的功),二项式定理展开略高次项,38,线元总机械能:,39, 质元总能量,振动系统：,系统与外界无能量交换。,波动质元：,每个质元都与周围媒质交换能量。,行波-通常指有振动状态和能量传播的波。,（与驻波区别）,40,3、平均能量密度,2、能量密度（energy density）：,（特征）,- 单位体积中波的能量,- 一周期内能量密度的平均值,41,2.平均能流,二、能流密度(功率密度) 波的强度 1.能流 单位时间内通过某面积 的能量,- 一周期内能流的平均值,42,二、 能流密度(功率密度) 波的强度 3.能流密度（energy flux density） 单位时间内垂直通过单位面积的能量(即通过单位面积的能流),4.平均能流密度（也称波的强度）,(记住!),43,利用 和能量守恒，可以证明，,对无吸收媒质，有：,平面波,球面波,柱面波,r 场点到波源的距离,三、平面波和球面波的振幅,44,例:在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。,所以：,证 介质无吸收，通过两个平面的平均能流相等.,45,例 证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数.,证 介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.,即,式中 为离开波源的距离， 为 处的振幅.,46,一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是： ？,（1）动能为零，势能最大；,（2）动能为零，势能为零；,（3）动能最大，势能最大；,（4）动能最大，势能为零。,（2）,提示：,自测题：,47,一平面简谐波，频率为300HZ，波速为340米/秒，在截面积为 的管内空气中传播，若在10秒内通过截面的能量为 ，求：（1）通过截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度？,【解】：,（1）通过截面的平均能流:,自测题：,48,（2）波的平均能流密度:,（3）波的平均能量密度:,49,11.5 惠更斯原理（Huygens principle）,前面讨论了波动的基本概念，现在讨论与波的传播特性有关的现象、原理和规律。,由于某些原因，波在传播中，其传播方向、频率和振幅都有可能改变。惠更斯原理给出的方法（惠更斯几何作图法）是一种处理波传播方向的普遍方法。,50,一、惠更斯原理,1、 原理内容:,媒质中任意波面上的各点，都可看作是发射子波（次级波）的波源（点源），其后的任一时刻，这些子波面的包络面（包迹）就是波在该时刻的波前。,2、 原理的应用:,已知 t 时刻的波面 t+t 时刻的波面，,从而可进一步给出波的传播方向。,51,t+t时刻波面,t 时刻波面,平面波,球面波,例如，均匀各向同性媒质内波的传播：,52,大量实验说明了惠更斯原理的正确性。,不足:,(1)不能正确说明某些波动现象(如干涉)；,二. 波的衍射（wave diffraction）,能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。,(2)没有说明各个子波在传播中对某一点的振动空究竟有多少贡献。,53,例如：,相对于波长而言，障碍物的线度越大衍射现象越不明显;障碍物的线度越小衍射现象越明显。,波的衍射现象可用惠更斯原理解释。,54,一 波的叠加原理,几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.,在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.,11.6 波的叠加原理 波的干涉,55,波的独立传播原理：有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响,趣称：和平共处,56,细雨绵绵独立传播,57,（仍可辨出不同乐器的音色、旋律）, 红、绿光束空间交叉相遇,（红仍是红、绿仍是绿）,（仍能分别接收不同的电台广播）, 听乐队演奏, 空中无线电波很多,波的叠加原理：,在它们相遇处，质元的位移为各波单独在该处,几列波可以保持各自的特点,（方向、振幅、波长、频率）,同时通过同一媒质，,产生位移的矢量和。,日常现象：,58,叠加原理由波动方程的线性所决定，当波强度过大时 (如爆炸声,强激光) ，媒质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理也就不再成立了。, 对于电磁波的情形：,其解同样满足叠加原理。,麦克斯韦方程组的各个方程都是线性的，则,附注:,59,二 、波的干涉现象,波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减,弱的分布叫波的干涉。,水波盘中水波的干涉,60,频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.,波的干涉,61,相干条件：, 频率相同； 振动方向相同； 有恒定的相位差。,能产生干涉现象的波称干涉波,其波源称相干波源,以下分析干涉现象的产生及确定干涉加强和减弱的条件?,62,设两相距很近的相干波,若两波源分别经r1 , r2 , 到P点相遇,且振幅分别为A1 , A2，则在P点引起的分振动分别是：,63,相位差:,P点合振动：,合振幅,强度,加强、减弱条件：,64,加强条件 (干涉相长 ),（干涉相长）,若 A1 = A2 , 则 Imax = 4 I1,振动始终加强,65,减弱条件 (干涉相消),（干涉相消）,若 A1=A2 ,则 Imin= 0,干涉是能量的重新分布,振动始终减弱,66,加强条件,减弱条件,波程差,相位差,P70页例11.4,即讨论仅因波程差引起的相位差,其他,67,例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果.,解:,设 A 的相位较 B 超前，则 .,点P 合振幅,68,11.7 驻波（standing wave）,下面研究一种特殊的、常见的干涉现象,一、 驻波的形成,能够传播的波叫行波（travelling wave）。,两列振幅相等的相干的行波沿相反方向传播而叠加时，就形成驻波，它是一种常见的重要干涉现象。,驻波的形成,69,波节,波腹,/4,-/4,70,设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播，,二、 驻波表达式 驻波的特点,设在 x = 0 处两波的初相均为 0，则：,1、驻波表达式,71,令,如图, 不具备传 播的特征,表示各点都做简谐振动，振幅随位置不同而不同.,上式不满足:,.不是行波.,驻波的振幅与位置有关,各质点都在作同频率的简谐运动,72,波腹：振幅最大,与干涉加强条件得到的结果相同,73,波节：振幅为零,与干涉减弱条件得到的结果相同,始终不振动,74,2.驻波的特点：,振幅各处不等大，波腹 (2A) , 波节(0)。,振幅：,驻波是分段的振动，设两相邻波节间为一段,则,相位：,相邻波腹（节）间距,相邻波腹和波节间距,75,必一正一负。,相邻两段中各点振动 相位相反。,（为什么？）,因为，相邻两段的,同一段中各点振动相位相同；,76,合能流密度为,平均说来没有能量的传播，但各质元间仍有能量的交换。,能量由两端向中间传，,瞬时位移为0，势能为0，,能量由中间向两端传，,动能最大。,动能势能。, 能量：,势能动能。,77,例题：,如图所示可以是某时刻的驻波波形,也可以是某时刻的行波波形,图中 为波长.就驻波而言, x1 , x2 两点间的相位差为_;就行波而言, x1 , x2 两点间的相位差_?,78,三、“半波损失”,（2）波疏波密，反射波有相位突变，,（1）波密波疏，反射波和入射波同相，无半波损失。,半波损失,79,如下图示：,入射波,反射波,另外一种描述：（1）反射端为自由端，无半波损失; （2）反射端为固定端，有半波损失。,80,入射和反射波的波形如下：,入射波,入射波,反射波,反射波,波密波疏,波疏波密,81,波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。,如两端固定的弦，,或,系统的固有频率或简正频率,T 弦中的张力,波速,形成驻波必须满足以下条件：,弦的线密度,四、两端固定的弦中的驻波,82,每种可能的稳定振动方式称作系统的一个固有振动或简正模式,注意：驻波的波形和能量都“不传播”，所以不是波动，而是一种特殊形式的振动。,83,一沿x轴方向传播的入射波的表达式为 ，在x = 0处发生反射，反射点为一节点，求：（1）反射波的表达式；（2）驻波的表达式；（3）波节、波腹的位置坐标。,【解】：,例题P76页11.6,（1）由题意知，波反射时有 的相位突变，所以反射波的表达式为,84,（2）据波的叠加原理，驻波的表达式为：,（3）形成波节的各点，振幅为零，则：,85,即：,形成波腹的各点，振幅最大，则：,位置坐标：,86,即：,位置坐标：,位置坐标如图示：,87,例题：,沿弦线传播的一入射波在x=L处（B点）发生反射，反射点为自由端，设振幅不变，且反射波的表达式为 ，则入射波的表达式为： ？,【解】：,B为反射波的波源，其振动方程为：,O为B点的波源，其振动方程为：,88,沿波线上任取一点，它到参考点的距离为x，其振动方程为：,89,人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？,接收频率单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数.,只有波源与观察者相对静止时才相等.,11.8 多普勒效应 (Doppler effect),90,多普勒效应：由于波源和观察者的运动，而使观测的频率不同于波源频率的现象。,一、机械波的多普勒效应,设 运动在波源 S 和观测者R的连线方向上，,以二者相向运动的方向为速度的正方向。,(波的频率),（波源频率）,（观测频率）,91,一 波源不动，观察者相对介质以速度 运动,92,此时，,vR 0(R接近S)，,vR 0,R,S反向(彼此远离)运动，vs, vR0,故有:,警车驶离观察者时,Vs 0,VR 0,则上式为:,(2)声波(警车)与客车上的观察者作同向运