河海大学《几何与代数》几何与代数第一章

几何与线性代数,柳庆新讲授,第1章几何向量及其应用,第一节向量及其线性运算,1.定义（向量）既有数值大小（非负），又有方向的量。,2.定义（范数/模）向量的数值大小,一、向量的概念,零向量，单位向量,思考：两个向量三个向量线性相关平行？共面？,且方向相反。,引例:力的合成-平行四边形法三角形法,注1：和与起点O的选取无关,1.加法运算：,3：加法法则（四条）,4：向量可以相加，但不可以比较大小,5：范数可比较大小,二、向量的线性运算及其性质,A,运算法则：,2：减法,2.数乘运算：,注1：数乘向量性质（四条）注2：线性运算、单位向量、向量空间（线性空间）,运算法则：,3.模的性质：,三、向量的共线与共面,1.共线：方向相同或相反约定：零向量共线于任何向量,定理1：,特别地，,2.共面：将向量的支点放在同一点时，它们在同一平面上。（或，平行于同一平面的向量）,推论：,定理2：,平行六面体,定理3：,定义,设1，2，n是一组向量，1、若k1，k2，kn是一组实数,称向量=k11+k22+knn为向量组1，2，n的线性组合称可以由1，2，n,线性表示。,k11+k22+knn=0,则称向量组1，2，n线性相关，否则，称它们线性无关。,注：,若1，2，n线性无关,则,k11+k22+knn=0,k1=k2=kn=0,2、若存在不全为零的k1，k2，kn，满足,空间解析几何：用数量来研究向量的问题，类似于平面解析几何需引入空间坐标系的概念。,第二节空间坐标系,一、仿射坐标系,定义（仿射坐标系）：空间中一点O以及三个有次序的不共面向量e1,e2,e3,构成空间中一仿射坐标系，记为O;e1,e2,e3,1.定义（直角坐标系）：e1,e2,e3为单位向量且两两垂直此时坐标向量记为i,j,k,注1：三坐标轴，三坐标平面两两垂直,注2：规定x,y,z轴的正方向，使之成右手系,定理：向量在坐标系o;i,j,k上的坐标x,y,z分别是在相应坐标轴上的投影。即()i=x,()j=y,()k=z,二、直角坐标系,2.定义（方向余弦）,例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和与平行的单位向量,注2：单位向量的表示法,（两个）,注1：|=？（勾股定理）,在空间直角坐标系中，向量与三个坐标向量的夹角称为向量的方向角；,方向角的余弦称为向量的方向余弦。,第三节向量的内积、外积和混合积,1.引例（做功）,2.定义两向量间的夹角：,(I)已知两个非零向量，经平行移动后使它们有共同的始点(II)夹角的范围无向角(III)几种类型,一、两个向量的内积,3.内积定义,注1:内积是数，非向量。,规定:零向量和任何向量正交（垂直）,定理：,内积的运算法则正定性交换律结合律分配律（重要）,注4:,注3:,注2:,4.向量投影定义：,注：投影是一数,正交投影向量：,1.外积定义：,注1：,注2：,性质：反交换律结合律分配律,例：,二、两个向量的外积,重点回顾,内积外积交角cossin垂直平行应用平行四边形,有了坐标，便将几何运算代数运算,1.线性运算,加法数乘距离,2.内积,三、向量运算的坐标表示,3.外积,引进二阶行列式，规定,太繁！,再次书写外积的结果！,注意：的顺序,注：如何记忆？两两组合！,4.体积与行列式,注1：为何加|？,定义（混合积）：,推论：,用行列式表示混合积,四、三个向量的混合积,（30）,（5）,定义（法向量）：平面通过一点M0(x0,y0,z0)且垂直于一条直线l设向量n/l,则称n为平面的法向量，坐标(a,b,c),根据：,平面方程：,一、平面的点法式方程,第四节平面及其方程,平面的一般方程：ax+by+cz+d=0(a2+b2+c20),二、平面的一般方程：,定理1：每一个平面可用ax+by+cz+d=0表出，其中a2+b2+c20,定理2：任给ax+by+cz+d=0，其中a2+b2+c20，则它恒代表一个平面。,确定平面的条件：三个不共线的点,1、三点式方程（例1.4.2）,三、其它的平面方程：,实质：三点式方程M1（a，0，0），M2（0，b，0），M3（0，0，c），且abc0,平面方程：,2、截距式方程(例1.4.3),总结,平面：（一）一点+两个不平行的向量（三向量共面）（二）一点+法向量,例：求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程,用两种方法（过原点）,特殊平面,1.a=0,2.d=0,平面过原点,3.d=a=0,平面过x轴,4.a=b=0,平面/xoy平面,平面/x轴,注意要加绝对值！,四、两个平面的位置关系,!如何找出交线上的点,解：,为什么?,点到平面的距离：,d=?,直线：一个点+一个方向（直线的方向）,1.参数方程,第五节空间直线及其方程,一、空间直线的参数方程与对称式方程,2.对称式方程（标准方程、点向式方程）,直线L的方向向量的坐标m，n，p称为直线L的方向数。,注：中点的表示（参数方程）,3.两点式方程,1.一般式方程（两平面的交线）,二、空间直线的一般式方程,2.一般式与对称式间的互换,3.平面束,原因：过直线L的平面有无穷多个,问题：如何表示这些过l