圆：垂径定理与圆周角定理.doc

圆考点一:与圆有关的概念1.连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的2倍。注意：直径是弦，但弦不一定是直径。2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A、B为短点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径的两个短点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。3.圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。同心圆的圆心相同，等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。注意： 1）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两个圆。2）等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的弧，不一定是等弧。4.顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。注意：在圆中一条弦所对的弧有两条。典型例题例题1.下列语句中不正确的有（ ）。直径是弦； 弧是半圆；经过圆内一定点可以作无数条弦； 长度相等的弧是等弧。A B. C. D. 考点二: 垂径定理及其推论（重点）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。注意: 定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：过圆心；垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：平分此弦；平分此弦所对的优弧；平分此弦所对的劣弧.推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。(4 ) 圆的两条平行弦所夹的弧相等在下列五个条件中: CD是直径, CDAB, AM=BM,AC=BC,AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.例题2.如图，圆O的弦AB8 ，DC2，直径CEAB于D， 求半径OC的长。例题3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？考点三: 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条陷或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组,量都分别相等。一等全等注意：不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则不成立；结合图形深刻理解定理中“所对应”这一词的含义。例题4.如图，O是CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE. 求证:(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE【课堂练习】1.圆既是轴对称图形,又是_对称图形,它的对称轴是_,对称中心是_.2.已知O的半径为R,弦AB的长也是R,则AOB的度数是_.3.圆的一条弦把圆分为5:1两部分,如果圆的半径是2cm,则这条弦的长是_cm.4.如图,在半径为2cm的O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( ) A.60 B.90 C.120 D.1505.如图,O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个6.如图,A是半径为5的O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 （第4题图） （第5题图） （第6题图） 7.已知AB、CD为O的弦,且ABCD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离 8.已知：AB为O的直径，CD为弦，CECD交AB于E DFCD交AB于F求证：AEBF 9.已知:如图,在O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为的中点,AB、OC 相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由. 10. 半径为5cm的O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?11.点A是半圆上的三等分点,B是的中点,P是直径MN上一动点.O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.圆周角和圆心角的关系一考点归纳考点一 圆周角的定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角，叫做圆周角。1 判断图中的角是不是圆周角： 2 判断下列命题是否正确？圆周角的顶点一定在圆上。（ ）顶点在圆上的角是圆周角。（ ）圆周角的两边都和圆相交。（ ）两边都和圆相交的角是圆周角。（ ）考点二圆周角定理（重点）：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。同弧所对的圆周角和圆心角的三种关系：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部。因此本定理的证明要分为三种情况。3验证推理圆周角定理： 推理过程： ； ； ； ； 。考点三推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论3：圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形内接于圆。推论4：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。4如图，AB是O的直径，CAB=70，求ABC的度数。5 如图，已知A、B、C、D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD、AD（1）求证：DB平分ADC； （2）若BE3，ED6，求AB的长 巩固练习1 已知：四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上，对角线ACBD，ABCD若CD4，则AB与圆的距离为 ( )A B2 C D2 O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）（A）30（B）150（C）30或150（D）)603 ABC中，B90，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12 ，则 的度数为（ ）（A）60（B）80（C）100（D）)1204如图，ABC是O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60的角共有( )个（A）3（B）4（C）5（D）65 如图，ABC内接于O，OBC=25，则A的度数为（ ）（A）70（B）65（C）60（D）)50 第4题 第5题6在半径为5的圆内，有一条长为5的弦，则此弦所对的圆周（）A60或120B30或150C60D1207 如图，A、B、C、D是同一圆上的四个点，且，BA和CD的延长线交于P点，P=40，则ACD的度数是（） A15 B20 C40D50 8如图，在O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ）A5对 B6对 C7对 D8对9下列说法正确的是（ ）A顶点在圆上的角是圆周角B两边都和圆相交的角是圆周角C圆心角是圆周角的2倍D圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半10下列说法错误的是（ ）A等弧所对圆周角相等 B同弧所对圆周角相等C同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D同圆中，等弦所对的圆周角相等AOBE11 如图，如果O的半径为2，弦AB=，那么弦心距OE的长为（ ）A 12如图，A、B、C、D、E是O上的五个点，则图中共有个圆周角，分别是13 （2005 四川自贡）如图，是的直径，是半圆的三等分点，则 第14题 第15题14 在O中，OC是半径，弦EF过OC的中点，且垂直于OC，则弦EF所对的