2019_2020学年高中数学第六章平面向量初步6.1.3向量的减法学案新人教B版.docx

61.3向量的减法考点学习目标核心素养相反向量理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算数学运算与向量加法的关系能将向量的减法运算转化为向量的加法运算数学建模、逻辑推理 问题导学预习教材P142P144的内容，思考以下问题：1一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？2任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？3向量的减法运算及其几何意义是什么？1.一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足bxa，则称x为向量a与b的差，并记作xab在平面内任取一点O，作a，b，作出向量，注意到，因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即.上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则2给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作a因为零向量的始点与终点相同，所以00不难看出，a(a)0，()0向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即aba(b)名师点拨 相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若b是a的相反向量，则a与b一定不相等()(2)若b是a的相反向量，则ab.()(3)向量的相反向量是，且.()(4).()答案：(1)(2)(3)(4) 化简的结果等于()A.B.C.D.解析：选B.原式()()0. 如图，在ABCD中，a，b，用a，b表示向量，则_，_解析：由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知ab，ba.答案：abba 在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为_答案：，向量减法的几何意义如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.【解】法一：(几何意义法)如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.法二：(定义法)如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，连接OC，则abc.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量 如图，已知向量a，b，c，求作向量abc.解：法一：先作ab，再作abc即可如图所示，以A为起点分别作向量和，使a，b.连接CB，得向量ab，再以C为起点作向量，使c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量abc.法二：先作b，c，再作a(b)(c)，如图.(1)作b和c；(2)作a，则abc.向量加减法的运算及简单应用(1)化简：_；()_；_(2)如图，用a，b表示；用b，c表示.【解】(1)()0；()()()0；()().故填0，0，.(2)因为a，b，c.ab.()bc.(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式首尾相连且为和起点相同且为差解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用(3)与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量相等、平行等关系辅助化简运算 如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，则用a，b，c表示下列向量(1)_；(2)_；(3)_；(4)_解析：因为四边形ACDE为平行四边形，所以c，ba，ca，所以bac.答案：(1)c(2)ba(3)ca(4)bac向量减法几何意义的应用已知|6，|9，求|的取值范围【解】因为|，且|9，|6，所以3|15.当与同向时，|3；当与反向时，|15.所以|的取值范围为3，15 变条件，变问法将本例的条件改为“|8，|5”，求|的取值范围解：因为，|8，|5，|，所以3|13，当与同向时，|3，当与反向时，|13，所以|的取值范围是3，13(1)用向量法解决平面几何问题的步骤将平面几何问题中的量抽象成向量化归为向量问题，进行向量运算将向量问题还原为平面几何问题(2)用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键 在四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD是()A菱形B矩形C正方形 D不确定解析：选B.因为，所以四边形ABCD为平行四边形，因为|，所以|.所以四边形ABCD为矩形1在平行四边形ABCD中，等于()A.B.C. D.解析：选A.2下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)；a(a)0.正确的个数是()A3 B4C5 D6解析：选C.由向量减法、相反向量的定义可知都正确；错误3化简_解析：()()0.答案：04已知a，b，若|5，|12，且AOB90，则|ab|_解析：如图，在矩形OACB中，则|ab|13.答案：13 A基础达标1在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A.0B.C. D.0解析：选C.因为四边形ABCD是平行四边形，所以，0，0，故只有C错误2如图，在四边形ABCD中，设a，b，c，则()Aabc Bb(ac)Cabc Dbac解析：选A.abc.3已知非零向量a与b同向，则ab()A必定与a同向B必定与b同向C必定与a是平行向量D与b不可能是平行向量解析：选C.ab必定与a是平行向量4下列各式中不能化简为的是() A()B()C()()D解析：选D.选项A中，()；选项B中，()0；选项C中，()()()，D不能化简为.5若a，b为非零向量，则下列命题错误的是()A若|a|b|ab|，则a与b方向相同B若|a|b|ab|，则a与b方向相反C若|a|b|ab|，则|a|b|D若|a|b|ab|，则a与b方向相同解析：选C.当a，b方向相同时，有|a|b|ab|，|a|b|ab|；当a，b方向相反时，有|a|b|ab|，|a|b|ab|，故A，B，D均正确6如图，在ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则_解析：因为D是边BC的中点，所以0.答案：07如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则_(用a，b，c表示)解析：由题意，在平行四边形ABCD中，因为a，b，所以ab，所以ab，所以abc.答案：abc8在ABC中，|1，则|_解析：如图，在ABD中，ABBD1，ABD120，.易求得AD，即|.所以|.答案：9.已知O为ABC内一点，a，b，c.求作：(1)bca；(2)abc.解：(1)以，为邻边作OBDC，连接OD，AD，则bc，所以bca，如图所示(2)由abca(bc)，如图，以，为邻边作OBEC，连接OE，则bc，连接AE，则a(bc)abc.10若O是ABC所在平面内一点，且满足|，证明ABC是直角三角形证明：因为，又|，所以|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形，所以ABAC，所以ABC是直角三角形 B能力提升11平面内有三点A，B，C，设m，n，若|m|n|，则有()AA，B，C三点必在同一条直线上BABC必为等腰三角形且ABC为顶角CABC必为直角三角形且ABC90DABC必为等腰直角三角形解析：选C.如图，作，则ABCD为平行四边形，从而m，n.因为|m|n|，所以|.所以四边形ABCD是矩形，所以ABC为直角三角形，且ABC90.12.如图，在正六边形ABCDEF中，与相等的向量有()；.A1个 B2个C3个 D4个解析：选B.因为四边形ACDF是平行四边形，所以，.因为四边形ABDE是平行四边形，所以.综上知与相等的向量是.13.如图所示，点O到ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，则_(用r1，r2，r3 表示)解析：r3r1r2.答案：r3r1r214已知OAB中，a，b，满足|a|b|ab|2，求|ab|与OAB的面积解：由已知得|，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且ab，ab，由于|a|b|ab|，则OAOBBA，所以OAB为正三角形，所以|ab|22，SOAB2.C拓展探究15如图，在ABCD中，a，b，(1)用a，b表示，；(2)当a，b满足什么条件时，ab与ab所在的直线互相垂直？(3)当a，b满足什么条件时，|ab|ab|?(4)ab与ab有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)a