新课标高中一轮总复习理数_第67讲相似三角形的判定与性质

新课标高中一轮总复习,第十单元几何证明选讲,知识体系,1.了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理及性质定理.3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.,5.了解下面的定理：定理:在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于点O，其夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记=0)，则：(1),平面与圆锥的交线为椭圆；(2)=,平面与圆锥的交线为抛物线;(3)AD，E为AD的中点，EFEC，且EF交AB于F，连接FC.设=k，是否存在实数k的值，使AEF、ECF、DCE与BCF都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.,要证明这四个三角形都相似，可以逐次证明其中的三角形相似，由于这些三角形都是直角三角形，因此只要证明两个三角形有一组锐角相等或两组对应边成比例即可.,假设存在实数k的值，满足题设.先证明AEFDCEECF.因为EFEC,所以AEF=90-DEC=DCE.而A=D=90，故AEFDCE.,故得=,而DE=EA，所以=.又CEF=EAF=90,所以AEFECF.再证明可以取到实数k的值，使AEFBCF.由于AFE+BFC90，故不可能有AFE=BCF,因此要使AEFBCF,应有AFE=BFC，,此时，有=，但AE=BC，故得AF=BF=AB.由AEFDCE，可知=.因此，(BC)2=AB2，所以=，求得k=.可以验证，当k=时，这四个三角形都是有一个锐角等于60的直角三角形，故它们都相似.,对于存在性问题，先假设其存在，再求解推理，若其解符合题意，则存在，否则不存在.,(1)如图甲，平行四边形ABCD中，AEEB=12，若AEF的面积为acm2，则CDF的面积等于cm2.(2)如图乙，在ABC中，DEBC,EFCD，且AB=2,AD=,则AF=.,1,9a,(1)显然AEFCDF.因为AEF的面积为a，要求DCF的面积,运用相似三角形的性质即可；（2）由于题目给出了两对平行线，求截得的线段长，用平行线分线段成比例定理可得.,(1)因为AEDC,所以AEFCDF,=()2=()2=()2=,所以SCDF=9SAEF=9a.(2)因为EFCD,所以AEFACD,故=.又因为DEBC,所以ADEABC,所以=,所以=,即AF=1.,平行线及其性质的运用，在解题、证题中是比较灵活的，应好好体会.,1.相似三角形的证法：定义法：对应边成比例，对应角相等；平行法；判定定理法：用得最多的是判定定理1，即两角对应相等的两个三角形相似；对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法，两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似；斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似.,2.相似三角形的性质：对应边成比例，对应角相等；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系可以进行各种证明、求值.3.在探究证明中,掌握从特殊到一般和化归的思想方法,学会解决问题的程序、模式.,(2009江苏卷)如图，在四边形ABCD中，ABCBAD.求证：ABCD.,由ABCBAD,得ACB=BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而CAB=CDB.再由ABCBAD,得CAB=DBA.因此DBA=CDB，所以ABCD.,(2008宁夏/海南卷)过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A,过A点作直线AP垂直于直线OM,垂足为P.(1)证明：OA2=OMOP;(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON,且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K，证明:OKM90.,(1)因为MA是圆O的切线,所以OAAM.又因为APOM,在RtOAM中，由射影定理知，OA2=OMOP.(2)因为BK是圆O的切线，BN