电磁场与电磁波 1 第二章：静电场2PPT课件

.,1,2.6唯一性定理,1、定理表述,静场边值问题是在给出的边界条件下，求泊松方程和拉普拉斯方程的解。在求解静态场边值问题时，如果我们能找出一个函数，既满足定解方程（泊松或拉普拉斯方程），又满足相应的边界条件，则这个函数就是我们所要求的解，而且是唯一的解。这就是唯一性定理。,2、静电场边值问题的分类,边值问题分为三类，即,第一类边值问题：已知整个边界上的位函数狄利克莱边界条件。,第二类边值问题：已知整个边界上的电位法向导数（即电荷面密度）诺伊曼条件。,.,2,第三类边值问题：边界上部分电位已知，另一部分上的电位的法向导数已知混合边界问题。,得到格林第一恒等式,3、解的唯一性的证明,（一）拉普拉斯方程解的唯一性证明,而和为空间区域内两个任意的标量函数,令某矢量场,由恒等式,和,代入散度定理,.,3,令,有,又，考虑到（对于拉氏方程）,从而得到,假设现在有两个满足边界条件的拉普拉斯方程的解，令其分别为、，因为拉普拉斯方程是线性方程，两个解的差也满足拉普拉斯方程，即,.,4,下面来证明对于上面的三类边值问题，拉普拉斯方程的解都是唯一的。,对于第一类边值问题,在边界S上有,于是,因为左边积分是非负的，故有,即,但因为在边界上+为零，因此有,从而证得对于第一类边界条件，拉普拉斯方程的解是唯一的。,对于第二类边值问题,.,5,由于给定了导体边界面的带电量q,则有,其中s为闭合的边界面,因此必有,同样得到,即第二类边值问题的解也是唯一的。,也就是说，和只相差一个常数,对于混合边值问题，只要把上右边的闭合面积分写成各部分表面的面积分之和，对每部分表面应用如上的讨论，便可得到结论。,（二）泊松方程解的唯一性的证明,对于泊松方程，有,.,6,同样假设泊松方程有两个都满足边界条件的解和，即,两式相减，得到,即泊松方程两个解的差+应是拉普拉斯方程的解。,重复上面的过程，同样可以证明泊松方程的解是唯一的。,4、解的唯一性的意义,.,7,Example2.10,电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中，密度为，两圆柱半径分别为a及b，轴线相距c。如图所示，求空间各区域的电位移和电场强度。,.,8,1、利用叠加原理，将空心部分看成是分别具有电荷密度为和-的两个平行圆柱的叠加,如图所示,解：,2.利用高斯定律,(a)当ra时，对于圆柱一，在空间的电场为,.,9,其中,对于圆柱二，在空间的电场为,其中,最后得到,.,10,(b)在外圆柱与内圆柱之间，有,而E2与（a）相同，从而在内外圆柱之间电场为,(c)在空腔内，E1与（b）相同,即,.,11,空腔内电场为均匀场,Example2.11,一不带电的孤立导体球(半径为a)位于均匀电场中，EazE0，如图所示。求电位函数。,在没有引入导体球时，均匀电场E的电位函数为,解：,若取z0为电位参考点，则c0,为什么用球坐标?,.,12,均匀电场中的导体球,.,13,当引入一个不带电的小球导体后，球表面出现感应电荷。静电平衡下的导体球为等位体，球内电场为零。在ra的空间内，电位由两个部分组成，即,为感应面电荷的电位。,将导体球心和球坐标原点重合，则虽然感内电荷密度的大小是未知的。但它在球面上的分布一定对称于z=0的平面上正下负。相当于一些电偶极子对称地分布在z轴的两边，它们在ra区域内的电位应为,故总电位为,由边界条件来确定待定常数k。,.,14,、在r=a的导体球面上电位为零,即,由此可解得,总的电位函数为,.,15,2.7电介质的极化.极化强度,电介质即绝缘材料如石英、云母、变压器油、芭麻油、氢和氯等。电介质可以是固体、液体或气体，有趣的是，一般金属蒸汽也是电介质。电介质中的电子受原子该的束缚很强，即使在外电场的作用下电子也不能脱离原于核做宏观运动，只能在原子间隔尺度内作微观位移。,电介质分子可分为两类：无极分子和有极分子。,无极分子：当外电扬不存在时，电介质中正负电荷的“重心”是重合的,没有等效电偶极矩.,然而，由于分子的无规则热运动，各个分子等效电矩的方向是凌乱的，所以无论是整块介质或介质中的某一部分，其中分子等效电偶极矩的矢量和都等于零.,有极分子：当外电场不存在时，电介质中的正负电荷重心”不重合，因此每个分子可等效为一个电偶极子,.,16,1、介质中的极化现象,当把介质放在电场中时，介质的分子在电场作用下会发生极化，使得介质中出现电偶极矩，偶极矩的电场叠加于原来的电场上，使电场发生变化。,介质的极化有三种不同的现象，它们分别是：,电子极化：,组成原子的电子云在电场作用下相对于原子核发生位移。可以认为，原子核不动，位移仅是电子。,离子极化：,对于离子分子，在电场作用下，正负离子从其平衡位置发生位移形成电偶极矩。,.,17,在本课程中，我们并不关心介质极化的微观机理，而主要研究介质极化对静电场的宏观影响，即电场的本构关系。,取向极化：,在电场作用下，分子的电矩克服热运动，而使分子电矩向电场方向移动，产生合成电矩,2、极化强度,称为该点的极化强度，单位为C/m2，它等于该点分子的平均电矩（P）和分子密度N的乘积,介质极化可看成一个个偶极矩的集合，每一个偶极矩的电矩可认为P，则在电场的作用下，介质中某体积元内的合成电矩为P，有：,.,18,对于线性的、各向同性的均匀介质来说，介质中每一点极化强度矢量P与该点的总电场强度E成正比，即,式中e称为电极化系数是一个无量纲数，不同的介质有不同的电极化系数.,.,19,3、束缚电荷,由偶极矩来计算介质对电场的影响是很困难的。实际上，如果介质均匀或介质中不存在自由电荷，则介质体积元内的净电荷为零。电荷只会出现在介质的表面。由于这种电荷总是在介质中成对出现，而不象自由电荷那样可以单独出现，因此，称为束缚电荷。,当介质的一部分表面出现正的束缚电荷时，另一部分表面上就会出现负的束缚电荷。,极化强度P与束缚电荷qp之间有一定的关系,.,20,设在外电场作用下，电介质发生了极化,极化强度为P在电介质内某点(x、y，z)取一个体积元dy，把该体积元中的所有电偶极于看成一个等效电偶极子，它的等效电矩为dPP(x,y,z)dV，这一等效电偶极子在远处一观察点A(X，y，z)产生的电位，可得,不难证明,代入后有,于是，体积为v的电介质中的全部电偶极子在场点A产生的电位是,.,21,利用矢量恒等式,为,积分范围为v(介质的整个范围),在利用散度定理,比较后，可以看出：,束缚电荷的体密度为,束缚电荷的面密度为,于是介质中一点的电位改写成,若电介质中还存在自由电荷的体分布时，电介质中一点总的电位可写为,.,22,4、介质中的高斯定理,电位移矢量D,如图所示，取一个闭合面S，计算从闭合面内穿出的电场E的通量，由高斯定理，有,.,23,其中，qp为闭合面S内总的束缚电荷。,考虑束缚电荷与极化矢量强度P的关系，如图示，取一个面元S，以ds为底，斜高为l，其电量为：,即：,代入，得到电场与极化强度的关系：,即：,根据电位移的性质,.,24,有,取微分形式,由,和,可得,便是介质中的高斯定理,这个关系式称为电场的本构关系。,.,25,5、介质分界面上的边界条件,（1）电位移矢量D的法向分量的边界条件,如图所示：,在分界面上取一个小的柱形闭合面，其上下底面与分界面平行，并分别位于分界面两侧，柱形闭合面的高h为无限小量。,利用高斯定理，由于高h为无限小，可以认为柱形闭合面侧壁的通量为零。从而得到介质分界面上电位移矢量D的边界条件为：,.,26,即,或,讨论：电场E的法向分量是否连续？,当介质分界面上无自由电荷时，有：,对于介质与理想导体的分界面，由于理想导体内的电场为零，从而有,.,27,如果将电位移矢量D的法向分量的边界条件用电位表示，则有：,对于无源分界面，有,（2）电场E的切向分量的边界条件,如图所示，在分界面上取一个小的矩形闭合路径，其中宽为h无限小量。,对于此小矩形，取E的环流，有,从而有,.,28,又,由此有,或：,对于理想导体和介质的分界面，由于理想导体内的电场为零，因此有,表明：理想导体的表面的电力线与表面垂直,（3）电位的边界条件,由于在电场E的环流中，h为无穷小量，电场E沿h的线积分（电位差）也为无穷小量。因此，电场的切向分量连续的条件有隐含为在分界面上电位是连续的，即在分界面上，有,.,29,夹角关系,由,和,由此得到介质两则电场的夹角（折射）关系：,.,30,半径分别为a和b的同轴线外加电压U，如图所示。圆柱面电极间在图示1角部分充满介电常数为的介质其余部分为空气，求介质与空气中的电场和单位长度上的电容量。,Example2.13,部分填充介质的同轴线,介质与空气中的电位必须既满足拉普拉斯方程,又满足导体表面的边界条件,解：1,根据唯一性定理采用试探方法求解，即假定电位的解是圆柱坐标下维坐标r的对数函数然后检验它们是否满足所有的边界条件。设两个区域的电位函数为,.,31,己知边界条件,可确定:,AC，BD,故,同时有,联立求解得,于是，,.,32,由此可知,从两介质边界上的衔接边界条件来看,显然有,(因为E1=E2=Er,没有法向分量),(即法向分量为零),所以试探解是唯一的真实解,2求单位长度上的电容量,根据边界条件求得内导体表面单位长度上的电荷量,.,33,根据电容的定义，有同轴线单位长度上的电容为,注：求解导体系统的电容量，有两种思路：,（1）已知（或假定已知）电容极板的电荷量Q，求出两极板间的电压（电位差）U。则电容C=Q/U。,（2）已知（或假定已知）两极板间的电压U，求出其中任一极板上所存储的电荷量Q。则电容C=Q/U。,.,34,2.8恒定电场的基本方程,1、什么叫恒定电场,电流是由电荷的流动形成的。,当电荷流动不随时间改变时，称为恒定电流；对应的电场称为恒定电场。,恒定电场即为加在导电介质上的静电场。因此恒定电场电场同时满足静电场的基本方程,2、电流密度,电流在空间或导电介质中的分布并不一定是均匀的，为了表示电流的分布，我们在垂直于电荷运动的方向取一个面元S，如果通过的电流为I，则电流密度J的值定义为：,其方向为正电荷运动的方向，单位为A/m2,.,35,注：电流密度是矢量，而电流强度是标量,正象流速是矢量，而流量是标量一样。它们的类比关系如,体电流密度,如果电流是在一个体积中流动的，J称为体电流密度；它与电荷的关系为：,其中为该点的电荷体密度，v是该点电荷速度的平均值,对于在体积中流过任意一个曲面S的电流为：,.,36,面电流密度,在许多场合，电流仅在一个表面上流过，称为表面电流；对应的，可定义面电流密度：,它与表面电荷的关系为：,表面电流为,.,37,线电流,当电荷在一根很细的导线中流过时，或电荷束的横截面很小时，可考虑线电流的概念。线电流定义为,其中，是电荷运动方向的单位矢量。,3、恒定电场的基本方程,（1）.电流连续性方程,由电荷守恒出发，在导体中任取一个闭合面S包围体积，显然，从闭合面流出的电流表示每秒从体积内穿过S到外面去的电量。由于电荷是守恒的，所以穿出闭合面的电流应等于它所包围体积内的电荷的减少率，即：,.,38,利用散度定理，得到,由于积分区域是任意的，因此有：,（连续性方程的积分形式）,（连续性方程的微分形式）,连续性方程是包括极化电流在内的任何电流都必须满足的性质。,对于恒定电流（恒定电场中的电流），由于空间电荷的分布不随时间而变，即,.,39,从而有：,（2）导体的本构关系微分形式的欧姆定律,实验指出：导体中任一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即：,称为导体的电导率，单位为S/M（西门子/米）它称为微分形式的欧姆定律,由此可以导出一段均匀导线的欧姆定律：,（3）导体回路中的电场,.,40,与静电场不同，在恒定电场中，除非是理想导体，在导体中必须有驱使电荷运动的电场存在，考虑电荷q沿导体构成的闭合回路一周所作的功，有：,在电源外部（只存在静电场）：,电源内的电场设为E，非静电场为E有,从而有：,根据静电场的性质：,.,41,从而有：,令,称为电动势，它是非保守场沿闭合路径的积分，因为电源内存在非保守场，所以当积分回路穿过电源时，总电场的积分不等于零。,如果积分回路不经过电源，则有：,从而可知，在电源外部的导体中，电场都具有保守性，可用电位梯度来表示。,4、不同导体分界面上的边界条件,.,42,由微分形式的欧姆定律可以看出，在相同电场强度条件下，电导率不同的导体中，电流密度是不同的，因此有必要了解不同导体分界面上的边界条件。,（1）电流密度的法向矢量连续：,证明如下：,在不同导体的分界面两侧做高为h，上下面积为ds的闭合面，其中h为无穷小，如图所示：,利用电流连续性方程，由于闭合面的高h为无限小，有,.,43,即,从而证得，在不同导体的分界面上，电流的法线分量连续。,（2）电场的切向分量连续：,与证明不同介质分界面电场切向分量连续的方法相同，在不同导体的分界面两侧做长为dl，宽为h的闭合曲线，其中h为无穷小，如图所示：,由于积分路径不经过电动势，因此，电场沿闭合路径的线积分为零，由此得到：,.,44,（3）电位的边界条件：,考虑到电场与电位和电流的关系，有：,（4）夹角关系,由,即,和,即,以及,.,45,有,最后,讨论:,电场（电流密度）与理想导体的表面垂直,.,46,恒定电场的基本方程总结:：（与静电场的比拟）,.,47,Example2.14,两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴的圆柱面，内导体半径为a，分界面半径为b，外导体内半径为c，两层介质的电容率为1及2，漏电导为1和2，外加电压U0伏时。求：介质中的电场强度、分界面上的自由电荷密度及单位长度的漏电导。,解：设两导体间单位长电流为I，半径r处的电流密度为J，则有,由电流连续性方程和欧姆定律，设内介质内的电场强度为E1r，外介质的内电场强度为E2r，在分界面上有,.,48,从而得到,内外导体间的电压为,代入,有,.,49,单位长度的漏电导为：,电场：,分界面上的电荷,（1）内导体表面上的电荷密度：,.,50,由于内导体是理想导体，因此有：,（2）外导体表面的电荷密度,（3）两种介质分界面上的电荷密度,.,51,Example2.15,在一块厚为d的导电板上，由两个半径r1和r2的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形，求（1）沿厚度方向的电阻。（2）求两圆弧面间的电阻。（3）求圆弧方向的电阻。,.,52,如图所示，先求厚度方向的电阻：,解：,（1）设上下两面的电压为U，电流为I，显然，厚度方向截面积是相等的，电流密度是均匀的，有,则电场为,对电场沿厚度方向积分，有,.,53,由此得到厚度方向的电阻为：,（2)求两圆弧面间的电阻：,在两圆弧面间做半径为r的圆弧面，由电流连续性原理，通过圆弧面的总电流是相等的，则在圆弧面的电流密度为,则电场强度为,对电场从r1r2积分，有,.,54,从而得到两圆弧面间的电阻为,（3）求圆弧方向的电阻：,此时，电压施加在=0和=的两个面之间，如上图所示。,作通过圆心，夹角为的射线，考虑由射线和厚度d构成的平面，显然穿过平面的电流就是总的电流。值得注意的是，由于电场沿圆弧的积分,路径随半径的不同而不同，因此显然电流密度在平面上不同半径位置是不同的，也就是说，电流密度在平面上不是均匀分布的，因此不能直接由总电流求出电流密度。,.,55,由于电压加在方向，因此电压只在方向变化，电位满足的拉普拉斯方程为：,由此得到,根据边界条件，,由电场与电位的关系，有,有,.,56,从而得到电流密度为,穿过横截面的总电流为,最后得到沿圆弧方向的电阻为,.,57,2.9导体系统的电容,1、电位系数与电容系数,两个以上导体的系统，称为多导体系统。,设有N个导体与地构成的系统，取大地的电位为零，多导体的电量分别为：q1，q2，q3.qn,则导体电位与各导体电量之间的线形关系可写为：,.,58,对上面N个方程求解，可得各导体上的电量：,上式中，pij称为电位系数，它与所有导体的几何条件有关。,当i=j时，ij称为电容系数。,当ij时，ij称为感应系数。它们都是同各导体几何条件有关的参数。,可以证明,ij=ji,即：感应系数具有互易性。,2、多导体系统的电量与电容,.,59,当有多导体存在时，导体电量受其它导体的影响。因此在计算多导体系统中两个导体之间的电容时，就必须考虑其它导体的影响。,.,60,从上式可以看出：,导体1的电量是由N部分组成。,其中第一部分：,导体1与地之间的电压成正比，比值,是它与地之间的部分电容。,第二部分：,是与导体1、2间的电压成正比。,.。,系数Cii称为自电容，Cij（ij）称为互电容,.,61,2.10静电能量与静电力,1、静电能量：,电场的最基本特征是对静止的电荷有作用力，这说明电场具有能量。,（理解！）,积分（对和对）得：,孤立带电球的电场能为,推导过程,下一页,设电场空间的媒质是线性的，位置固定，并当系统完全建立时，最终的电荷分布为，电位为。为了分析问题的方便，假设各点的电荷密度按其最终分布的同一比例因子变化，则各点的电位也将按同一因子变化，即：设某一时刻电荷分布为时，电位为，令从零到1变化，则在的时间间隔中，对于d的体积能量的增加为：,.,62,设已知带电金属球的半径为a，总带电量为q，其电位是,设想，电荷q是从无穷远处一份一份地逐渐搬运到金属球上来的,在搬运过程中的某一状态时，球上电荷为xq，（0x1）球的电位为,外力所作的功则转变为电场能，即,所以，总电场能为：,返回,下一次再搬运电荷时，外力需要做功,.,63,注意这里所有的电荷都是真实电荷。,引入恒等式：,有：,.,64,当取整个积分空间时，由于,而,从而得到：,因此，第一项积分为零。,单位体积的能量密度为：,所以，总的电场能可表示为,.,65,用能量密度公式，再来计算带电球的电场能量。,已知带电金属球的半径为a，带电量为q,则球外的电场强度为,能量密度为,球外总的电场能,与前面计算的结果一致。,.,66,如图所示，半径为a的导体球和半径为C（ca）的同心导体球壳，中间部分填充两种不同介电常数的电介质，它们的分界球面的半径为b。,Example2.16,（1）求两导体间的电容；,（2）若内外两导体分别带有电荷+q和-q。求两层介质中所存储电场能We，并由此计算该导体系统的电容。,解：,（1）求两导体间的电容,为便于分析，内外两导体分别带有电荷+q和-q。,根据系统的球对称性，直接用高斯定律,可求出介质中的电位移分布：,.,67,由此，两层介质中的电场强度分别为,于是，两导体间的电压为,所以，电容为,（2）先求介质中的电场能,.,68,在上述电荷分布的情况下，介质1中的电能密度为,同样，介质2中的电能密度为,两层介质中总的电场能为,根据电容与电场能的关系式：,可得到与前一样的结果,.,69,2、静电力,静电力的计算虚位移法,原则上带电导体之间的静电力可用库仑定律来计算。这里介绍另外一种计算方法，在力学中用物体位能的空间变化率来计算力，有时是很方使的。这便是虚位移法。,（1）位移过程中，带电体的电荷不变,带电系统充电后与外电源脱离。假设系统内如果某一导体因受静电力的作用引起某种位移、（由于此时电源已脱离），位移所需的功应由电场能付出，即,所以，静电力等于电位能量的空间减少率,例如：一个半径为R、带电量q为常量的孤立球导体充电后与电源断开，其静电能量为：,.,70,球面上总的静电力,单位面积受力,该结果可用下面的图来解释,导体表面的静电力,小块所占居的空间在没有位移前，其电场能为,位移后，该能量消失，即,单位面积受力,.,71,（2）位移过程中，带电体的电位不变,为使电位不变，导体系统内各导体必须保持与外加电源相连,如果其一导体发生位移，则必然引起所有导体上的电荷量变化。,故外界电源要作功，所作之功,电源提供的能量一半用于电场储能，另一半用来静电力作功,此时的静电力计算为,例如：假定半径为R的孤立导体球的电位为常数=U，总的静电能量为,故静电力,结果与q为常数时完全一致,.,72,阅读P72例题，注意电介质片所受静电力方向的物理规律,部分填充电介质的电容器,本章小结,2、静电场的基本方程为：,.,73,恒定电场的基本方程,3、静电场E可用电位函数来表示。无界空间内的电位函数为,均匀导电介质没有净电荷,（体电荷的电位）,4在均匀电介质中电位函数的微分方程,泊松方程：,拉普拉斯方程：,在满足给定边界条件的情况下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。,.,74,5、在不同介质的分界面上,或,电场的折射关系：,在不同的导电媒质交界面上,另外,6、静电场能量,导体系统的能量为,由场变量计算的电场能,.,75,在导电媒质内恒定电场中电场储能密度为,损耗密度(功率密度）为,7、导休或介质所受到静电力可以电场能量的空间变化率（虚位移法）求出。,本章作业题：,ex2.6；2.9；3.3；3.4；3.5；3.9；3.12；3.13（4）；3.16；3.19；3.20；3.21；3.24；3.27；3.33；3.35；,.,76,根据量子理论，氢原于中心是一个带正电qe的原子核(可看成是点电荷)，外面是带负电荷的电子云。在正常状态下，电子云的电荷密度分布是球对称的,例题1,(a0为常数),求原子内的电场分布。,设在原于