极限、连续与间断

第一章 极限、连续与间断第一章 极限、连续与间断本章主要知识点l 求极限的几类主要题型及方法l 连续性分析l 间断判别与分类l 连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。（1）题型I 方法：上下同除以的最高次幂例1.1解：原式例1.2解：原式=12例1.3解：原式=例1.4解：原式= =例1.5 解：原式=1（2）题型II 原式=例1.6解：原式=1/2例1.7解：原式=例1.8解：原式=例1.9解：令，原式=例1.10. 解：a+2+b=0,原式= a=2,b=-4 答案错误（3）题型III若，有界例1.11. 解：因为，而有界所以 原式。例1.12解：因为（），有界，所以原式例1.13解因为，有界； 所以 原式。（4）题型IV 识别此类题型尤为重要，主要特征为未定式步骤如下：例1.14解：原式例1.15解：原式例1.16解：原式=（5）题型V 等价无穷小替换替换公式：替换原则：乘除可换，加减忌换。例1.17错解：=0例1.18解：原式=-20例1.19解：原式=例1.20 （题目可能有误 分子部分的9可能应替换为19）解：令，则原式答案错误例1.21 解：原式=例1.22. 解：原式=例1.23. 解：原式=例1.24. 解：原式= =（6）题型VI 洛必达法则（见导数相关内容）；（7）题型VII 变上限积分有关积分（见积分相关内容）； 、极限应用连续性分析定义：变形：,其中分别表示左、右极限。例1.25，若在处连续，求。解：，故 例1.26，若在处连续，求解： 由得：故为任意实数例1.27，其中为有界函数，问在是否连续？解：因为 所以，在处连续。例1.28在可能连续吗？解：， 不论取何值，均不能连续。三、极限应用间断识别及分类识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。2分类方法： （a），为可去间断；（b），为第一类间断，或称跳跃型间断；（c）、至少有一个不存在，为第二类间断；特别地，若左右极限中至少有一为，则为第二类无穷间断。例1.29解：间断点为，,对于， ,因为，所以为可去间断。对于，当，即，可去间断；对于，当，即，,可去间断； 当，为第类无穷间断。例1.30解：间断点，0 ， 。 在为类无穷间断。 ，x=0为可去间断点。例1.31解： 定义域为 。 间断点为 。 因为， 所以均为的类无穷间断。例1.32解： 定义域为，间断点为 对于，为第类无穷间断； 对于， ，为第类间断。注：对仅考虑了其一个单侧极限。例1.33解：间断点是：，x=0是可能间断点。对于x=0，f(0+0)=,f(0-0)=,x=0为第类间断；对于为第类间断；对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=，为第类间断。注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。四、连续函数介值定理定理：在闭区间内连续，且，则在至少有一零点，即存在，使得。应用此定理需要注意以下几点：(0) 如何定义。 区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。 验证在闭区间上的连续性， 验证在两端的符号。 此定理不能确定是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证 在内的单调性（参见导数应用部分）例1.34证明：在内有一实根证：构造，易知在上连续，且，故 ，由连续函数介值定理知，在有实根，即命题得证。例1.35证明至少有一正根证明：令， 在内连续，且， 由闭区间连续函数介值定理得，在至少有一根，即命题得证。五、数列极限定理：对充分大的n成立，如果，那么 。例1.36 解：因为，所以，原式=1/2。单元练习题11，则 。2如果，在处连续，则 。3与等价无穷小， ，。4与是等价无穷小， ，。5的间断点为 。6，则，。7在下列极限中，正确的是（ ）A BC D 8若那么（ ） A B C D以上都不正确在下列极限中，不正确的是（ ）A BC D10计算下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12） 题目错误 分子根号外部分应为-号而不是+号11分析函数的间断点，并指明其类型。12分析的间断点，并指明其类型。13分析的间断点，并指明其类型。14分析函数的间断点，并指明其类型。15证明方程至少有一正根，有一负根。16证明：方程至少有一正根。17。18历年真考题1、（2001）1、下列极限正确的是（ C ）A. B. C. D. 2、（2001）求函数的间断点，并指出其类型。3、（2002）下列极限中，正确的是（ A ）A. B. C. D. 4、(2003)在下列极限中，正确的是（ D ）A. B. C. D. 5、（2003）6、（2003）已知，求其间断点并判断类型。7、（2003）证明：在内有且仅有一个实根。8、（2004） 当时，是关于x的 （B）A.高阶无穷小 B.同阶但不是等价无穷小C.低阶无穷小 D.等价无穷小9、（2004）设则_10、（2004）求函数的间断点并判断类型。11、（2005）x=0是函数的 （ ）A.可去间断点 B.跳跃间断点C.第二类间断点 D.连续点本章测试题1的定义域是 。 2 的定义域是 ， 。3 ， ， ， ， 。4. 的连续区间是 ，间断点是 。5. 。6若，则（ ）A B C D7设，则的定义域是（ ）A(-2,+ ) B-2, + C(-,2) D(-,2)8设，则当且时（ ）A B C D9当时 与为同阶无穷小量是（ ）Ax B C D10当 时，下列变量中不是无穷小量的是（ ）A BC D11设，则（ ）A3/2 B3/2 C-3/2 D-2/312函数在点处连续是在点有极限的（ ）A充要条件 B充分条件 C必要条件 D无关条件13函数的间断点是（ ） A B C D无间断点14当时， 的等价无穷小量是（ ） A B C D 15（ ），A3 B1 C D16函数的连续区间是（ ）A B C D17. 分析的间断点并分类。 18. ，求。 19. 20. 21. 22. 23. 24.设，求使在处连续。25. 设，若 在 内连续，求的值。26. 求下列函数的间断点并判别类型。（1） （2）（3）27 设在上连续且,。试证：在内至少存在一个使。28. 设在上连续，且。证明：在上至少存在一个使。29 证明在内至少有一个实根。30 设在上连续，且，证明：存在一个使得本章练习解答1、，； 2、； 3、，4、，； 5、6、，； 7、 8、 9、B10、（1）解：原式= （2）解：原式= （3）解：原式= （4）解：原式=（5）解：原式 （6）解：原式（7）解：令，得原式（8）令，得原式（9）令，得原式（10）原式（11）原式（12）解：原式11、解：间断点为，。 当，即时，为可去间断； 当，为II类无穷间断12、解：，间断点为， ，I类跳跃间断；， ， ，I类跳跃间断。13、解：的定义域，间断点为。， 为可去间断；， 为II类无穷间断；， 为II类无穷间断。14、解：为间断点。， ，为I类跳跃间断。15、 证明:构造 ，对于 ，在上连续,且，据连续函数介质定理知,在方程至少有一正根；同理，对于,，故在方程 至少有一负根,命题得证。16、证明:构造，在连续,且，据闭区间连续介值定理得知,在内至少有一正根，即命题得证。17、118、1/3。测试答案1 2. , 3. , ，4. ，56、 7、 8、9、10、11、12、 13、14、15、 16、17定义域 x,间断点为且为第二类无穷断点。18则，即。19原式=20原式21.原式=222324，由得，25 由连续性可知 ， 26（1）间断点为， 为第类跳跃型间断。 （2） 间断点为均为第一类跳跃型间断点。（3）间断点为；。不存在，为第二类间断；对于即时， 为可去间断； 当时，,第二类间断点； ，为第一类跳跃型间断。27令则在上连续,且,由闭区间上连续函数的介值定理知,在至少存在一点 使,即28令则在上连续,且 或成立