线性代数(同济六版)ch

第三章矩阵的初等变换与,用消元法解线性方程组，,1矩阵的初等变换,1.互换两个方程；,2.以非零数乘某个方程；,3.一个方程的倍数加到另一个方程.,例1解线性方程组,对方程组用到三种变换：,线性方程组,2,，+5,2,定义1下述三种变换称为矩阵的初等行变换:,1.对调两行;,2.以非零数乘某行的所有元素;,3.把矩阵某行的所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去.,初等列变换.,初等变换.,如果矩阵A经初等变换得到矩阵B,下述形状的矩阵叫做行阶梯形矩阵,任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵.,那么称矩阵A与B等价.,记为AB.,B1是矩阵A经初等行变换得到的阶梯形矩阵.,例2用初等行变换把矩阵,解,A,变成行阶梯形矩阵.,称B2为行最简形矩阵.,再作初等行变换B1又可以变为,任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行最简形矩阵.,对B2再作初等列变换又可得,任何mn矩阵A都可经过初等变换化为形如,的矩阵,称矩阵F为A的标准形.,例3用初等行变换将矩阵,变成行最简形矩阵.,解,A,2矩阵的秩,定义2在mn矩阵A中任取k个行与k个列,定义3如果矩阵A中有一个k阶子式D0，,零矩阵的秩规定为0.,数k称,解在A中有一个2阶子式,且A的所有的,所以R(A)=2.,3阶子式都等于零，,称为矩阵A的一个,位于这,且所有的k+1,则称D为A的一个最高阶非零子式.,阶子式都等于0,为矩阵A的秩，矩阵A的秩记成R(A).,些行与列交叉处的元素而得的k阶行列式,k阶子式.,据定义3可知，,解在A中有一个3阶子式,且A中所有的,4阶子式都等零，,所以R(A)=3.,行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数.,Dr相应的一个r阶子式Mr,因而,若把矩阵A的第i行乘数k0得矩阵B，,且Mr=Dr,或Mr=Dr,那么B中存在一个,且Mr=Dr或Mr=kDr.,与Dr相应的一个r阶子式Mr,设R(A)=r，且A的某个r阶子式Dr0.,当A对调第i行,第j行得矩阵B时.,在矩阵B中存在一个与,定理1若AB，则R(A)=R(B).,证明先证明,如果矩阵A经一次初等行变换得矩阵B，,那么,R(A)R(B).,我们也可以证明，如果把矩阵A的第j行的k倍加到第i行,得到矩阵B,那么矩阵B中必有一个r阶子式Mr0.,因而,因而,这样，我们就证明了，,如果矩阵A经一次初等行变换得矩阵B,则有R(B)=R(A).,由矩阵经一次初等行变换秩不变，,类似的可以证明，经有限次初等列变换,总之，若AB，则R(A)=R(B).,则R(A)R(B)成立.,所以也应有R(B)R(A).,若矩阵A经一次初等行变换得矩B，,那么矩阵B也可以,这样，我们就证明了，若矩阵A经一次初等行变换得矩阵B,变换矩阵的秩也不变.,经一次初等行变换得矩阵A,即可知经有限次初等行,矩阵的秩也不变.,例3求下列矩阵的秩,求矩阵A的秩,1.根据矩阵秩的定义.,2.根据定理1.,用初等变换把矩阵A化成行阶梯形矩阵，,行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数（定义3）.,解用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.,A,r1r2,r2-2r1,r2r3,r3+4r2,因此，R(A)=3.,矩阵A的秩=此行阶梯形矩阵的秩（据定理1）,例4求下述矩阵的秩,解用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.,A,r1r3r2-2r1r3-2r1,因此，R(A)=2.,线性方程组,称为n元齐次线性方程组.,A称为方程组的系数矩阵,于是，这个齐次方程组可以记为,3线性方程组的解,记,定理2n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要,证必要性设方程组Ax=0有非零解.,假设R(A)=n，,根据Cramer法则，D所对应的n个方程构成的齐次线性方程组,从而原方程组Ax=0也只有零解，,矛盾.,充分性设R(A)=rn,那么A1只含r个非零行，,用反证法来证明,条件是系数矩阵A的秩R(A)n.,R(A)n.,故R(A)0个自由未知量,也有非零解.,同解.,把它改写成,因此有非零解.,故Ax=0,例13元齐次线性方程组,是否有非零解？,解由,r2-r1r3-3r1r4-r1,r3-r2r4-2r2,因为R(A)=23,所以此齐次线性方程组有非,可知R(A)=2.,零解.,解用初等行变换化系数矩阵,可知，,有非零解.,R(A)=23.,性方程组有非零解.,n元非齐次线性方程组,A称为非齐次线性方程组的系数矩阵,B称为增广矩阵.,记,于是，,Ax=b,这个非齐次方程组可以记为,其中,定理3n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条,证明必要性,则B可化成行阶梯形矩阵,件是R(A)=R(B),假设R(A)R(B)，,其中B=(Ab)为非齐次线性方程组,用反证法,设非齐次线性方程组Ax=b有解，,要证R(A),=R(B).,Ax=b的增广矩阵.,于是得到与原方程组Ax=b同解的方程组：,因为它含有矛盾方程0=1，所以这个方程组无解，,这与原方程,充分性设R(A)=R(B)=r.,则B1中含r个非零行.,用初等行变换化增广矩阵B为,组有解矛盾.,故R(A)=R(B).,行阶梯形矩阵B1，,不妨设B1为,B1对应的方程组为,这个方程组有解.,它与原方程组Ax=b同解，,所以非齐次线性,方程组Ax=b有解.,由上述证明还可以知道，,n元非齐次线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件是,R(A)=R(B)=n.,例3判断下列非齐次线性方程组是否有解,解用初等行变换化其增广矩阵,由此可知，R(A)=3,R(B)=4，即R(A)R(B)，,因此方程组,例4a,b取何值时，非齐次线性方程组,（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？,无解.,解用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，,（1）当a1时，R(A)=R(B)=4,（2）当a=1，b0时，R(A)=2,而R(B)=3,（3）当a=1，b=0时，R(A)=R(B)=2,由此可知：,方程组有唯一解；,方程组无解；,方程组有无穷多个解.,4初等矩阵,定义4由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.,初等矩阵有三种：,E,E,E,例1矩阵,且有,都是初等矩阵，,所以,由于,也都是初等矩阵，,所以,初等矩阵是可逆矩阵，,且其逆矩阵是同类型的初等矩阵.,一般的有,=E.,因此，,由于,=E.,因此，,由于,=E.,因此，,由于,定理4对矩阵A施行一次初等行（列）变换相当于以相应,证明设A是mn矩阵,记,其中a1,ai,aj,am分别是A的第1,i,j,m,行.用初等矩阵E(i,j)左乘矩阵A,得,的初等矩阵左（右）乘A.,同样可以得到，定理对其它两种初等行变换也成立.,类似的，可以得到初等列变换的情形.,例2,例3,定理5设A为n阶矩阵,则A是可逆矩阵的充分必要条件是,证明必要性设A为可逆矩阵.,A=P1PiEPi+1Pk,即A=P1P2Pk.,充分性因为初等矩阵是可逆矩阵，可逆矩阵的乘积也是可,推论矩阵AB(A与B等价）的充要条件是存在可逆矩,用初等变换求矩阵的逆矩阵,设A为可逆矩阵,据定理5，有初等矩阵P1,P2,Pk,使,存在有限个初等矩阵P1,P2,Pk，使A=P1P2Pk.,也就是存在初等矩阵P1,P2,Pk,使,所以,当P1,P2,Pk