《信号处理原理》PPT课件

信号处理原理,清华大学计算机系列教材徐明星、郑方编著,联系方式：xumx,fzheng,信号的概念、描述、分类信号处理的目的、步骤典型信号介绍信号的基本运算信号的分解,内容提要,1基本概念,信号是反映（或载有）信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。,信号的概念,自然和物理信号例如：语音、图象、地震信号、生理信号等人工产生的信号例如：雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信号等,信号是信息的表现形式，信息则是信号的具体内容。,信号描述方法,数学描述使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式。,因此，常可将“信号”与“函数”和“序列”等同起来,波形描述按照函数随自变量的变化关系，把信号的波形画出来。,信号的分类,确定信号与随机信号,要点：,区分方法：,给定的自变量的值，是否可以唯一确定信号的取值。,任意给定一个自变量的值，如果可以唯一确定其信号和取值，则该信号是确定信号，否则，如果取值是不确定的随机值，则是随机信号。,周期信号与非周期信号,要点：,关系式是否成立？,周期信号的周期（正值）：,最小T值,非周期信号可以视为是周期无穷大的周期信号。,时间连续信号与时间离散信号,信号的自变量是否在所讨论的整个连续区间内都有定义？,定义域连续？,NO,时间离散信号,YES,时间连续信号,模拟信号、抽样信号与数字信号,通常被称为“序列”,模拟信号的定义域和值域都有是连续的；抽样信号的定义域离散而值域连续；数字信号在定义域和值域都是离散的。,计算机特别适合于处理数字信号,因果信号与非因果信号,如果信号在时间零点之前，取值为零，则称为因果信号。,表示信号在过去时间内不可能发生（取值为零）！,若信号仅在过去（时间零点之前）有非零值，则称为反因果信号。,实值信号与复值信号,如果信号的取值是实数，则称为实值信号，简称实信号。,如果信号的取值是复数，则称为复值信号，简称复信号。,复信号是为了研究方便而引入的,不是因果信号，就是非因果信号，信号在时间零点之前有非零值。,能量信号与功率信号,定义信号的能量为：,离散时间信号,连续时间信号,定义信号的功率为：,离散时间信号,连续时间信号,如果信号的能量是有限的，则称为能量有限信号，简称能量信号。,如果信号的功率是有限的，则称为功率有限信号，简称功率信号。,信号处理及其目的,信号处理,对信号进行提取、变换、分析和综合等处理过程的统称。,信号处理的目的,去伪存真,特征抽取,编码解码,去除信号中冗余的和次要的成分。,把信号变成易于进行分析和识别的形式。,把信号变成易于传输、交换与存储的形式（编码），或从编码信号中恢复出原始信号（解码）。,数字信号处理的步骤,模数转换ADC,数字信号处理DSP,数模转换DAC,自变量(时间)和幅值同时离散化,变换域分析、数字滤波、识别、合成,数字信号还原为模拟信号,保证信息不丢失的理论基础是：,采样定理,典型信号,指数信号：,微分或积分后还是指数信号,参数,符号,正号,负号,信号增强A,信号衰减CD,绝对值,大,小,变化速度快D,变化速度慢C,0,直流信号B,-1,-0.5,0.5,1,2.5,5,7.5,10,12.5,15,B,C,D,A,正余弦号：,说明：(1)K为振幅(2)为角频率(3)为初相位,正弦信号,余弦信号,正弦,余弦,复指数信号：,欧拉公式,复指数信号与正余弦信号之间的关系,指数因子s是复数,一个复指数信号可以分解成为实、虚两部分。其中，实部包含余弦信号，虚部则为正弦信号。,指数因子实部s表征了正弦与余弦函数振幅随时间变化的情况：,若s0，正弦、余弦信号是增幅振荡；若s0：右移,b1：压缩,0：不需反褶,2/的分量。,这样，常把=0.2/这段频率范围称为矩形信号的频带宽度，简称带宽。,3傅里叶变换,周期信号的频谱谱线的间隔为,非周期信号可以看成是周期T1趋于无限大的周期信号,非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线长度趋于零。,周期信号的频谱谱线的长度为,解决方法,FT变换,非周期信号的傅里叶变换,FT：,IFT：,变换核,FT/IFT的性质,唯一性：,如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。,可逆性：,如果，则必有，反之亦然。,FT存在的充分条件：,时域信号绝对可积。,FS与FT比较,信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成,幅度频谱密度函数,相位频谱密度函数,典型非周期信号的FT,单边指数信号：,偶双边指数信号：,(实偶函数),矩形脉冲信号：,其频谱是实函数,脉高为E，脉宽为t,幅度谱,相位谱,矩形脉冲信号FT的特点：,FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积,FT的过零点位置为,频域的能量集中在第一个过零点区间,带宽只与脉宽有关，与脉高E无关。带宽为,符号函数：,不满足绝对可积条件，但存在FT。可借助双边指数衰减函数来求符号函数的FT。,符号函数与双边指数函数的乘积信号f1的频谱F1,积分并化简，可得,符号函数的频谱为,幅度谱,相位谱,冲激信号：,冲激函数的频谱等于常数，即在整个频率范围内频谱是均匀分布的。显然，在时域中变化异常剧烈的冲激函数中包含了幅度相等的所有频率分布。因此，这种频谱常被称为均匀谱，或白色谱。,FT定义,冲激函数的抽样性质,上述结果也可由矩形脉冲取极限得到。当脉宽逐渐变窄时，其频谱必然展宽。可以想象，若0，而E=1，这时矩形脉冲就变成了(t)，其相应频谱F()必定等于常数1。,单位冲激信号与直流信号的频谱,由FT对称性,冲激函数的频谱为常数，什么样的函数其频谱为冲激函数呢？,直流信号的傅里叶频谱是位于零点的冲激函数,频谱零点处的冲激函数来自信号的直流分量,阶跃信号：,不满足绝对可积条件，但存在FT。,FT的线性性,原点处的冲激来自u(t)中的直流分量,FT的性质,线性性,齐次性,叠加性,反褶和共扼性,FT是线性运算,奇偶虚实性,偶偶,奇奇,实偶实偶,实奇虚奇,实（=实偶+实奇）实偶+虚奇=偶+j奇=实偶*EXP(实奇),实信号的FT：偶共扼对称虚信号的FT：奇共扼对称,实信号和虚信号的FT幅度谱函数是偶函数，幅度谱偶对称,实函数的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数!,对称性（对偶性）,FT与IFT的变换核函数是共轭对称的,在计算机程序设计实现上，IFT可以通过FT来完成。,其中，FF*()表示按自变量进行FT，结果仍是t的函数。,f(t)是偶函数,f(t)是奇函数,证明：,将变量t与互换，可以得到,等号右边是对函数F(t)的傅里叶变换！,尺度变换特性,时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩,a0,a1)等效于在频域中扩张；反之，信号在时域中扩展(a1)则等效于在频域中压缩。对于a=-1，则说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中也沿纵轴反褶。,信号波形压缩a倍，则信号随时间的变化会加快a倍，所以它所包含的频率分量也要增加a倍，即频谱被展宽a倍。同时，根据能量守恒原理，各频率分量的大小必然要减小a倍。,等效脉宽,等效带宽,对任意形状的f(t)和F()假设t，时，f(t)0，F()0,f(t)与F(w)所覆盖的面积等于F(w)与2pf(t)在零点的数值F(0)与2pf(0)。,设f(0)与F(0)分别等于各自对应曲线的最大值，则定义信号的,时移特性,频移特性,不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位,与尺度变换结合,与尺度变换结合,频谱搬移时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号，可以达到频谱搬移的目的。,微分特性,积分特性,时域微分,频域微分,时域积分,频域积分,卷积定理,时域卷积定理,频域卷积定理,时域相关性定理,若函数f2(t)是实偶函数，则,函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对。,自相关的傅里叶变换,相关性定理与卷积定理一致。,帕斯瓦尔定理,周期信号的FT,正弦信号的FT,余弦信号的FT,正弦和余弦信号FT的频谱图,一般周期信号的FT,设周期为T1的周期信号在第一个周期内的函数为f0(t),则,冲激函数的搬移特性,信号的四则运算,周期为T1的冲激函数串,周期单位冲激序列的FT,冲激串的FS,FT的对称性,FT的线性性,(周期为T1),于是,冲激函数筛选特性,FTf0(t),利用FT变换的卷积定理，得,结果是离散的冲激函数序列组成的频谱,把周期函数f(t)展开成傅里叶级数,两边取傅里叶变换,已知,于是,对比,周期矩形脉冲信号的傅里叶级数系数与傅里叶变换,连续信号,量化编码,抽样,抽样信号,数字信号,抽样过程方框图,抽样脉冲,f(t),fs(t),p(t),由上图可见，连续信号经抽样作用变成抽样信号以后，往往需要再经量化、编码变成数字信号。这种数字信号经传输，然后进行上述过程的逆变换就可恢复出原连续信号。,基于上述原理所构成的数字通信系统在很多性能上都要比模拟通信系统优越。,4抽样定理,抽样信号的FT,信号理想抽样前后频谱的变化,原始信号及其频谱,冲激序列及其频谱,抽样信号及其频谱,抽样间隔发生变化,时域离散频域周期,按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数（时域离散频域周期），是原函数傅里叶变换的Ts分之一按周期2p/Ts所进行的周期延拓。,结论：,要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号，必须满足：（1）信号是频带受限的；（2）采样率至少是信号最高频率的两倍。,间矩,抽样定理,几个概念,奈奎斯特频率是信号频率的上限,从抽样信号恢复原始信号的方法,理论上,工程上,将抽样信号通过截止频率为、放大倍数为Ts的低通滤波器。,5LT与ZT,实际碰到的信号总是因果信号,正变换积分下限从零开始,绝对可积条件的要求限制了某些增长信号（如eat）FT的存在,阶跃信号、周期信号的变换式中出现冲激函数,引入衰减因子,与f(t)相乘,令,则,上式被称为拉普拉斯变换式,拉普拉斯变换LT定义,拉普拉斯反变换ILT定义,拉普拉斯变换方法是一种复频域变换方法，常称为s域分析。,原函数,若考虑零点处的冲激，则,象函数,复数,拉普拉斯变换,衰减因子引入的意义（作用）,从数学观点看,这是将函数f(t)乘以因子以使之能满足绝对可积的条件,从物理意义看,这是将频率由w变换为复频率s，w只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。,（因为复数s可以同时提供两种信息）,双边拉普拉斯变换LT与ILT定义,与傅里叶变换的关系,与单边LT的关系,因果信号的单边LT与双边LT是一样的。,LT的性质,线性性,时域平移,单边LT,双边LT,复频域平移,尺度变换,单边LT,双边LT,当时域反褶时，LBf(-t)=F(-s),共轭特性,若f(t)是实函数，则,时域微分,单边LT,双边LT,时域积分,单边LT,双边LT,复频域微分,其中,初值和终值定理,使用条件：,信号是因果信号，且在时不包含冲激或高阶奇异函数。,计算方法：,注意事项：,如果通过该定理求出的初值和终值与实际不符，则计算结果肯定有误。但即使初值与终值这两点与实际符合了，也不能保证所求的LT是正确的。,典型信号的LT,周期信号的LT,第一周期的LT,抽样信号的LT,周期单位冲激序列的LT,连续信号冲激抽样后的单边LT,由LT求FT,由LT求FT的基本公式,应用条件,由双边LT求FT：,可以,由单边LT求FT：,信号不是因果的,信号是因果的,不行,要根据收敛坐标定,求解拉普拉斯变换的收敛域，大纲不作要求,Z变换定义,Z变换是离散信号与系统的理论研究中的一种重要的数学工具,它把离散系统的数学模型差分方程转化为简单的代数方程，使其求解过程得以简化。,设连续因果信号x(t)经均匀抽样，则抽样信号xs(t)的表达式为,取拉氏变换,变换积分与求和的次序，并利用冲激函数的抽样特性，可得,引入新的复变量z=esT，通常令T=1，则,ZT变换定义,序列x(n)的ZT,复变函数X(z)的IZT,称x(n)与X(z)为一对变换对。简记为：x(n)X(z),z-1的幂级数,代表时延,单边ZT,双边ZT,Z变换收敛域,收敛域ROC定义,使给定序列x(n)的Z变换X(z)中求和级数收敛的z的集合。,收敛的充要条件是,判别收敛的方法,比值法,根值法,特定序列的ROC,有限长序列,序列x(n)在nn2(其中n1Rx1，则双边序列的ROC为否则，ROC为空集，即双边序列不存在Z变换。,补充说明,求ROC所求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际的收敛域可能会更大。,实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。,与ROC有关的结论,Z变换极点与其ROC的关系,常见序列及其ZT,单位冲激序列,ROC：,单位阶跃序列,矩形脉冲序列,序列的单边ZT用双边ZT表示为Zx(n)=ZBx(n)u(n),序列是因果序列的充要条件是x(n)=x(n)u(n),序列是反因果序列的充要条件是x(n)=x(n)u(-n-1),单边阶跃序列的用途,单位斜变序列nu(n),单位指数序列anu(n),单边正余弦序列,要尽可能利用常见ZT对和ZT基本性质求解一般序列的ZT,6ZT的性质,线性性,ROC,时域平移性,双边ZT,单边ZT,左移,右移,左移,右移,ZT的性质,时域扩展性,扩展因子a,1,-1,相当于在原序列每两点之间插入a-1个零,相当于原序列先反褶，再每两点之间插入-a-1个零,如果序列是偶对称的，则,如果序列是奇对称的，则,如果一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点（或极点）z0那么它必含有另外一个与z0互为倒数的零点（或极点）1/z0,时域共轭性,如果一个序列是实序列，则,如果一个实序列的ZT含有一个零点（或极点）z0，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点（或极点）z0*,Z域尺度变换（或序列指数加权）,可以用复指数序列调制序列的相位特性。,Z域微分（或序列线性加权）,ROC唯一可能的变化是加上或去掉零或无穷。,初值定理,X(z)是因果序列x(n)的Z变换，则,终值定理,X(z)是因果序列x(n)的Z变换，则,只有在极限存在时才能用，此时X(z)的极点必须在单位圆内（如果位于单位圆上则只能位于z=1，且是一阶极点）。,时域卷积定理,卷积的ZT的ROC至少是原序列ZT的ROC的交集。当出现零极点相抵时，ROC可能会扩大。,Z域卷积定理,设,C1和C2收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线,的收敛域为,帕斯瓦尔定理,逆Z变换的求解,部分分式展开法,把X(z)展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变换，最后把各逆变换相加，即可得到x(n)。通常展开的对象是X(z)/z，而不是X(z)。,幂级数展开法,把X(z)按z-1展成幂级数（通常是使用长除法），那么其系数组成的序列x(n)即为所求。这种方法有时给不出一个闭式表达式。,留数法,T(z)在某个s阶极点处的留数的求法：先将T(z)中含有该极点的所有因式全部去掉，然后对z进行s-1次微分，再除以(s-1)!，最后求出表达式在该极点处的函数值，即为所求。,其中，pm为围线包围的X(z)zn-1的极点,设p是T(z)=X(z)zn-1的s阶极点，则T(z)在该极点处的留数为：,7离散时间系统,定义,离散时间系统就是输入输出都是序列的系统。输入x(n)通常称为激励，输出y(n)称为响应。输入输出的对应关系可简记为x(n)y(n)。,系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。,信号作为待传输消息的表现形式，可以看作运载消息的工具，而系统则是为传送信号或对信号进行加工处理而构成的某种组合。,研究系统所关心的问题是：对于给定信号形式与传输、处理的要求，系统能否与其匹配？它应具有怎样的功能和特性？,线性离散时间系统,对任意一组常数ck(1kK)，系统满足下列条件,否则，为非线性离散时间系统。,时不变离散时间系统,在相同样起始条件下，系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关。,否则，为时变离散时间系统。,如果系统既是线性的，又是时不变的，则称为线性时不变系统，简记为LTI系统。,系统分类,LTI离散时间系统,LTI离散时间系统的表示,有三种基本的内部数学运算关系：单位延时、相加、乘系数。一般用差分方程来描述。其一般形式是：,离散系统的响应,单位冲激响应：,离散系统对单位冲激序列的零状态响应,记作h(n)，即,单位阶跃响应：,离散系统对单位阶跃序列的零状态响应,系统响应,零状态响应,零输入响应,系统处于零状态时对应的响应。,没有激励时系统的响应。,用ZT法求解离散时间系统响应的基本步骤,（1）求激励的ZT（2）对表示离散系统的差分方程两边施加ZT（3）把激励的ZT代入，求出响应的ZT（4）求（3）的IZT，即可得到系统的响应,离散系统的传递函数,逆系统：,如果一个系统的传递函数是H(z)，那么称传递函数为1/H(z)的系统为原系统的逆系统。,逆系统对信号的运算是原系统对信号的运算的逆。,传递函数或系统函数：,表示系统的零状态响应与因果序列激励的ZT之比值,结论1：,系统的零状态响应等于激励与单位冲激响应之间的卷积,证明：,所以,因为,任意信号可用冲激信号的组合来表示,传递函数H(z)与单位冲激响应h(n)是一对ZT对,结论2：,证明：,因为,所以,于是,系统的单位阶跃响应等于其单位冲激响应的部分和,结论3：,证明：,因为,积分关系,所以,两个系统串联后新系统的单位冲激响应是串联子系统单位冲激响应的卷积，传递函数是串联子系统传递函数的乘积,两个系统并联后新系统的单位冲激响应是并联子系统单位冲激响应的和，传递函数是并联子系统传递函数的和,H1(z),H2(z),H1(z)H1(z),H1(z),H2(z),H1(z)+H1(z),系统串联,系统并联,离散系统的特性,关于离散系统稳定性和因果性的结论,离散系统是稳定的充要条件：单位冲激响应绝对可积。,只要输入有界输出必定有界,输出变化不领先于输入变化,证明：,设,对任意的有界输入,有,即输出也是有界的，所以系统稳定。,假设系统的单位冲激响应不是绝对可积的，即,即输入是有界的。于是,若系统激励为,显然,即输出是无界的。这与系统是稳定的相矛盾。,具有有理传递函数的离散LTI系统是因果的充要条件：ROC是传递函数最外面极点之外的某个圆外部的区域；传递函数分子多项式z的阶次不大于分母多项式z的阶次。具有有理传递函数的因果离散LTI系统是稳定的充要条件：传递函数的全部极点都在单位圆内。,若离散LTI系统具有有理传递函数，则结论可进一步推广,稳定系统传递函数的ROC应包含单位圆在内。因果系统传递函数的ROC是某圆外区，包含无穷远点。,系统特性与传递函数ROC的关系,离散系统是因果的充要条件：单位冲激响应是因果序列。,（可利用y(n)=x(n)*h(n)来证明）,利用下式证明h(n)H(z),离散系统的频率响应,定义：,如果离散系统的系统函数为H(z)，则称为离散系统的频率响应，简称频响，它反映了系统对激励中各频率分量的幅度和相位影响。,通常是复值函数,幅频响应,相频响应,序列的离散时间傅里叶变换,是在单位圆上的z变换,（可参考抽样信号的傅里叶变换的特性）,系统的频率响应是周期为ws(序列的重复频率，当T=1时，ws=2p)的周期函数，并且关于w=0和w=ws/2是共轭对称的。,系统频率响应在0p区间的取值，反映了系统对激励信号中从直流到频率ws/2之间各频率分量的响应情况。,当把频率为的正弦序列施加到系统函数为H(z)的系统上时，系统的稳态响应是同频率的正弦序列，其幅度被扩大了倍，相位被延迟了。此结论对余弦序列同样适用。,系统的频率响应是其单位冲激响应的离散时间傅里叶变换,低通系统,带通系统,高通系统,带阻系统,全通系统,幅频响应分类,离散系统按其幅频特性在奈奎斯特区间内的走势可分为：,低通、高通、带通、带阻、全通。,幅频响应值越大的频率成分，越容易通过系统；幅频响应值越小的频率成分越容易被系统滤除。,频率响应几何确定法,传递函数,频响,零点向量差,极点向量差,在z平面原点处加入或去掉零极点,不会影响系统的幅频特性,只影响系统的相频特性,如果单位圆上某个点沿逆时针方向不断转动，转动一周就可以根据下式得到系统的频响。,8离散傅里叶变换DFT,连续时间傅里叶变换CTFT不适宜于在数字计算机上进行计算。其主要原因为：,信号覆盖了整个时间轴（时间受限信号除外）信号是时间连续的（定义域是连续的）信号的频谱覆盖了整个频谱轴（频带受限信号除外）信号的频谱是连续的,时域要离散、有限！频谱要离散、有限！,时域周期延拓,时域截断,时域抽样,解决信号的离散化问题,工程上无法处理时间无限信号,要使频率离散，就要使时域变成周期信号,时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积,通过窗函数对信号进行逐段截取,连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓,周期延拓中的搬移通过与的卷积来实现,周期延拓后的周期函数具有离散谱,通过与抽样信号相乘得到,经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。,DFT的推导,处理后信号的连续时间傅里叶变换,它是离散函数，仅在离散频率点f=k/NTs处存在冲激，强度为ak，其余各点为0。,它是周期函数，周期为Nf0=1/Ts，每个周期内有N个不同的幅值。,时域的离散时间间隔Ts(或周期To)与频域的周期fs(或离散时间间隔fo)互为倒数。,时域是周期的,时域是离散的,DFT定义,DFT的定义,设h(nTs)是连续函数h(t)的N个抽样值n=0,1,N-1，这N个点的宽度为N的DFT为：,N点DFT的变换核,IDFT定义,IDFT的定义,设H(k/NTs)是连续频率函数H(f)的N个抽样值k=0,1,N-1，这N个点的宽度为N的IDFT为：,N点IDFT的变换核,变换核定义,DFT定义,正逆变换的核函数分别可以表示为和,DFT可以表示为,核函数的正交性可以表示为,IDFT可以表示为,周期性与对称性,用途,周期性与对称性,离散谱的性质,离散谱定义,离散序列h(nTs)(0nN)的DFT离散谱为,离散谱性质,周期性,序列的N点DFT离散谱是周期为N的序列。,幅度对称性,如果离散序列x(nTs)(0nN)为实序列，则其N点DFT关于原点和N/2都有,共轭对称性,DFT的定义是针对任意的离散序列x(nTs)中的有限个离散抽样(0n=0;i-)des=(tmp,取出tmp的最后一位，放到des的指定位上。,2FOR(I=0，L=N/2，M=1;IR;I+)/逐级计算.L:级内群数FOR(J=0;JL;J+)/逐群计算.M:群内单元数FOR(K=0;KM;K+)/逐蝶形单元计算POS=K+J*(M*2);TMP=DATAPOS+M*WK*L;DATAPOS+M=DATAPOS-TMP;DATAPOS+=TMP;L/=2;/群数减少一倍M*=2;/蝶形单元数增加一倍,FFT算