1.2正、余弦定理的应用.doc

1.2正、余弦定理的应用 学习目标 1.能依据三角形中的边角关系和正弦定理余弦定理解决实际问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题；3.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。 学习过程 一、课前准备1、三角形中的一些常用结论内角和定理： 边角关系： , , , 2、正弦定理：设分别为ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆的半径，则有_ =_=_=_变形一（化边为角）：_变形二（化角为边）： 变形三（三角形的面积公式）： 3、余弦定理：设分别为ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆的半径，则有 ， ， 常用变形：_4、解三角形（1） 由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。（2） 正弦定理可解决以下两类问题： （3） 余弦定理可解决以下两类问题： 二、新课导学1.求解斜三角形中的基本元素例1：2.判断三角形的形状例2：3.正余弦定理综合应用例3：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;【分析】 (1)b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想到余弦定理,求出cosA,从而求出A的值. (2)由a= 及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式,利用不等式,即可求出bc的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到化简求值的目的.4.实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等方面都要用到解三角形的知识，下面我们分类例析：实际应用问题中有关的名称、术语 在解决与三角形有关的实际问题时，经常出现一些有关的名词、术语，如仰角、俯角、方位角、方向角、铅直平面等。 （1）铅直平面是指与海平面垂直的平面。 （2）仰角与俯角在同一铅直平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角（如图所示）。 （3）方位角：从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。方位角的取值范围为0360。 如：方位角是60的图形如图。 （4）方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）度。（一）测量问题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m). 提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边. 新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线. 例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法. 分析：这是例1的变式题，研究的是两个 的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点. 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离. 变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60.例3 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得BCD=,BDC=,CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.（二.）航海问题例4某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？西北南东ABC3015图2图3ABC北4515例5 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。小结： 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测：1. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）A0.5小时B1小时 C1.5小时D2小时2在中，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ ） A B C D 3. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km4.某观测站在城A的南偏西20的方向,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40,在C处测得公路上B处有一人,距C为31千米,正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问:这人还要走多少千米才能到达A城?1在三角形ABC中，A120，AB5，BC7，则的值为()A. B. C. D.2在ABC中，角A，B均为锐角，且cosAsinB，则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 3一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里 C10海里 D10海里4如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援，则sin的值等于() A. B. C. D.5.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为() 海里/时A. B34 C. D346如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为_7一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.8. 某人在塔的正东沿着南偏西600的方向前进40米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为300，求塔高。课后作业参考答案1.解析：由余弦定理可得25AC210ACcos12049AC3，由正弦定理得，2.解析：选C.cosAsin(A)sinB，A，B都是锐角，则AB，AB.3.解析：选C.如图，依题意有BAC=60，BAD=75，所以CAD=CDA=15，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是=104.解析：选D.根据题目条件可作图如图：在ABC中，AB20，AC10，CAB120，由余弦定理有BC2AC2AB22ACABcosCAB20210222010cos120700，BC10，再由正弦定理得，sinACB，cosACB.所以sinsin(30ACB)sin30cosACBcos30sinACB.5.解析：选A.如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，由正弦定理，得，MN6834.又由M到N所用时间为 14104(小时)，船的航行速度v6.解析：在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos60，整理得x210x960，解之得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，BCsin308.7.解析：如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)8.分析：某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD=40米，此时DBF=450，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短，仰角才最大，这是因为tanAEB=，AB为定值，BE最小时，仰角最大。要求出塔高AB，必须先求BE，而要求B