反余弦函数和反正切函数.doc

南京市鼓楼中等专业学校教案授课日期 年 月 日 第 周授课时数2课型新授课课 题8.3.2反余弦函数、反正切函数教 学目 标知识目标：理解反余弦函数，反正切函数的概念；掌握反余弦函数、反正切函数的定义域、值域； 知道反余弦函数和反正切函数的图象.能力目标：能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.情感目标：渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力.教 学重 点难 点重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.难点：能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值.板书设计8.3.2反余弦函数、反正切函数1、 反余弦函数 例1 例22、 反正切函数3、 图象4、 求值学情分析由于学生刚刚学完反正弦函数，本节课在巩固原有知识的基础上，通过类比由学生自己来得出反余弦、反正切函数的概念，并仿照反正弦函数的图象来探究反余弦、反正切函数的图象.教后记教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动一、 情境导入 1、复习 我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，xR，不存在反函数；但在存在反函数. 2、思考：那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？分析： 因为对于任一余弦值和正切值都有无数个角值与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3、讨论：应该选取什么区间，使得或y=tanx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值，y=tanx一切函数值R.可以选取闭区间0，使得在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-，），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.二、新课讲解1、反余弦函数和反正切函数的定义：余弦函数y=cosx， x0，的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x-1，1； 正切函数y=tanx， x（-，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x（-，）.（2）反正弦函数的性质：图象 y=arccosx y= arctanx定义域：函数y=arccosx的定义域是-1，1；函数y= arctanx的定义域是R.师：复习提问生：口答生讨论，得出区间的选择.生：仿照反正弦函数的定义给出反余弦、反正切函数的定义.师：提示师：根据反函数的定义画出两个反函数的图象.教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动值域：函数y=arccosx的值域是0，；函数y= arctanx的值域是（-，）.奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos（-x）=-arccosx，x-1，1；函数y= arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx. 单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y= arctanx是增函数.结论：函数y=cosx，x0，与函数y=arccosx，x-1，1的图象关于直线对称；函数y=tanx，x（-，）与函数y=arctanx，xR的图象关于直线对称.三、例题讲解例1求下列反三角函数的值：（1）arccos；（2）arccos；（3）arctan（-1）；（4）arctan解：（1）因为在0，上，cos=，所以arccos=. （2）因为在0，上，cos=，所以arccos=.（3）因为在（-，）上，tan（-）=-1，所以arctan（-1）=-.（4）因为在（-，）上，tan=，所以arctan=.例2 用反余弦函数表示适合下列条件的角（1） ， （2），解：（1）因为，所以 （2）因为，所以或 当，当，.生：观察图像得出两个反三角函数的性质.师：板书（1）（3）生：尝试做（2）（4）师：的范围超出反函数的定义域，需要注意分类.教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动例3已知等腰三角形的两腰AB=AC=13cm，高AD=12cm，试用反正切函数表示各内角.解：如图，在ABC中，作高AD交BC于D 则 ， ，.四、巩固练习1、教材 P82 练习8.3.2 第1、2、32、求下列反三角函数的值：（1）arccos；（2）arccos（-）；（3）arccos0；（4）arctan1；（5）arctan（-）.五、课堂小结1、反余弦函数和反