第2章序列的傅里叶变换和z变换ppt课件

第2章序列的傅里叶变换与Z变换,引言2.1序列的傅里叶变换2.2傅里叶变换的对称性质2.3序列Z的变换2.4Z反变换2.5Z变换的基本性质和定理2.6序列Z变换域连续信号的拉普拉斯变换及傅里叶的关系2.7离散系统的频域特性,29.04.2020,.,2,信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。,29.04.2020,.,3,频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。,29.04.2020,.,4,2.1序列的傅里叶变换,2.1.1序列傅里叶变换的定义定义,为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：,2-1,2-2,29.04.2020,.,5,为求FT的反变换，用ejn乘(2-1)式两边，并在-，内对进行积分，得到,式中,因此,2-3,2-4,29.04.2020,.,6,上式即是FT的逆变换。(2-1)和(2-4)式组成一对傅里叶变换公式。(2-2)式是FT存在的充分必要条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在下面介绍。,29.04.2020,.,7,例2-1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT,解：,设N=5，幅度与相位随变化曲线如图2-1所示。,2-5,29.04.2020,.,8,图2-1R5(n)的幅度与相位曲线,29.04.2020,.,9,2.1.2序列傅里叶变换的基本性质1.傅里叶变换的周期性序列x(n)傅里叶变换定义(2-1)式中，n取整数，因此下式成立,M为整数,因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这样X(ej)可以展成傅里叶级数，其实(2-1)式已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。,2-6,29.04.2020,.,10,图2-2cosn的波形,29.04.2020,.,11,2.线性,则,设,式中a,b为常数3.时移与频移设X(ej)=FTx(n)，则,2-7,2-8,2-9,29.04.2020,.,12,4.时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ej)=X(ej)H(ej)证明,令k=n-m,2-10,29.04.2020,.,13,5.频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n),2-11,证明,29.04.2020,.,14,6.帕斯维尔(Parseval)定理,2-12,29.04.2020,.,15,帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(ej)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。最后，表2-1综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。,29.04.2020,.,16,2.1.3周期序列的傅里叶变换,1周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数,式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和,2-13,29.04.2020,.,17,上式中，k和r均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数，因此k满足k=k+lN，也是周期序列。令=Nk，将(2.15)式代入得,可得,-k1,X(z)存在的条件是|z-1|1，并且,由X(z)知，极点是z=1，因此收敛域不包括单位圆，所以单位圆上的变换不存在，其傅里叶变换不存在，也不能用(2.52)式求FT。但若引进奇异函数()，则傅里叶变换可以表示出来，如表2-2所示。另外，该里表明一个序列x(n)在收敛域的z变换存在，不能保证傅里叶变换存在。,29.04.2020,.,50,2.3.3序列特性对收敛域的影响要满足(2.52)式，必须保证|z|值在收敛域才行。不同形式的序列其收敛域不同，分别讨论如下。1有限长序列有限长序列是指在有限区间nlnn2之内序列才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零，其z变换为,2-53,29.04.2020,.,51,因此，X(z)是有限项级数之和，故只要级数的每一项有界，则级数就收敛，即要求|x(n)z-n|，nlnn2由于x(n)有界，故要求|z-n|，nlnn2显然，在0|z|上，都满足此条件，也就是说收敛域至少是除z0及z外的开域(0，)“有限z平面”，如图2-6所示。,29.04.2020,.,52,图2-6有限长序列及其收敛域(nl0，n20;z0，z除外),29.04.2020,.,53,在nl，n2的特殊选择下，收敛域还可进一步扩大：,0|z|nl00|z|Rx+，则不存在公共收敛域，X(z)不存在。,29.04.2020,.,60,图2-10双边序列及其收敛域,29.04.2020,.,61,例2-8求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：这是一个右序列，且是因果序列，其z变换为,例2-7x(n)(n)，求此序列z变换及收敛域。解这是nln20时有限长序列的特例，由于,在收敛域中必须满足|az-1|a|。如果n20，则收敛域为0|z|Rx+。,0|z|,所以收敛域应是整个z的闭平面(0|z|)。,29.04.2020,.,62,例2-9求x(n)=-bnu(-n-1)的Z变换及其收敛域。解：这是一个左序列，其z变换为,|z|b|,此无穷项等比级数的收敛域为|b-1z|l，即|z|b|。同样，收敛域内X(z)必须解析，因此，一般来说，左边序列的z变换的收敛域一定在模值最小的有限极点所在圆之内。,29.04.2020,.,63,例2-10已知序列,求其z变换及收敛域。解这是一个双边序列，其z变换为,从上两例的求解法，可得此例的结果。如果|a|b|，则得上式的闭合形式表达式，也就是存在收敛域为|a|z|a，求Z反变换。解,记,当n2,按(2.70)式求系数的方法，将等式两端同除以z得,将此式展成部分分式，得,再利用(2.70)式求得系数为,，,29.04.2020,.,76,所以,因而,查表2-3第4条可得(注意，由所给收敛域知是因果序列),29.04.2020,.,77,2.幂级数展开法(长除法),因为x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即,所以只要在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)。,29.04.2020,.,78,例2-14已知,解收敛域|z|3，故是因果序列，因而X(z)分子分母应按z的降幂或z-1的升幂排列，但按z的降幂排列较方便，故将原式化成,求它的z反变换x(n),|z|3,29.04.2020,.,79,进行长除,所以,X(z)3z-1+232z-2+333z-3+434z-4+,由此得到x(n)n3nu(n-1),29.04.2020,.,80,例2-15已知X(z)(1-az-1)-1，|z|a|试用长除法求z反变换x(n)。,解由X(z)的收敛域判定，x(n)是左序列。用长除法将X(z)正幂级数,所以X(z)-(a-1z+a-2z+a-3z+)=,因而x(n)-anu(-n-1)长除法一般很难得到序列x(n)的封闭解形式。,29.04.2020,.,81,2.5Z变换的性质和定理,2.5.1.线性线性就是要满足比例性和可加性，z变换的线性也是如此，若ZTx(n)X(z)Rx-|z|Rx+ZTy(n)Y(z)Ry-|z|Ry+则ZTax(n)+by(n)aX(z)+bY(z)R-|z|R+其中a，b为任意常数。相加后z变换的收敛域一般为两个相加序列的收敛域的重叠部分，即R-max(Rx-，Ry-)，R+min(Rx+，Ry+),2-71,29.04.2020,.,82,所以相加后收敛域记为,R-max(Rx-，Ry-)R-|z|R+R+min(Rx+，Ry+)如果这些线性组合中某些零点与极点互相抵消，则收敛域可能扩大。,29.04.2020,.,83,2.5.2序列的移位序列移位后其z变换与原序列z变换的关系有左移(超前)及右移(延迟)两种情况。若序列x(n)的z变换为ZTx(n)X(z)Rx-|z|Rx+则有ZTx(n-m)z-mX(z)Rx-|z|Rx+式中m为任意整数，m为正，则为延迟，m为负则为超前。证明略。,2-72,29.04.2020,.,84,3.乘以指数序列若序列乘以指数序列an(也称为z域尺度变换)，a是常数，也可以是复数。若X(z)ZTx(n)Rx-|z|Rx+则,证明,收敛域为因为Rx-|a-1z|Rx+，得到|a|Rx-maxRx-，1,2-79,29.04.2020,.,94,2.5.10序列卷积设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和,Rx-|z|Rx+Rh-|z|Rh+则,若时域为卷积和，则z变换域是相乘，如上所示，乘积的收敛域是X(z)收敛域和H(z)收敛域的重叠部分。如果收敛域边界上一个z变换的零点与另一个z变换的极点可互相抵消，则收敛域还可扩大。,maxRx-，Rh-|z|minRx+，Rh+,2-80,29.04.2020,.,95,证maxRx-，Rh-|z|minRx+，Rh+,在线性时不变系统中，如果输入为x(n)，系统冲激响应为h(n)，则输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积和，这是我们前面讨论过的，利用卷积和定理，可以通过求X(z)H(z)的z反变换而求出y(n)，后面会看到，对于有限长序列，这样求解会更方便些，因而这个定理是很重要的。,maxRx-，Rh-|z|minRx+，Rh+,29.04.2020,.,96,2.5.11z域卷积定理如果ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+ZTh(n)=H(z),Rh-|z|Rh+y(n)=x(n)h(n)则,Rx-Rh-|z|Rx+Rh+,2-81,式中v平面上被积函数的收敛域为,29.04.2020,.,97,证,由X(z)和H(z)的收敛域得到Rx-Rh-|z|Rx+Rh+,29.04.2020,.,98,不难证明，由于乘积x(n)h(n)的先后次序可以互调，,故X(z)，H(z)的位置可以互换，故下式同样成立,Rx-Rh-|z|Rx+Rh+,2-82,而此时收敛域为,2-83,29.04.2020,.,99,例2-19已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：,W(z)的收敛域为|a|z|。被积函数v平面上的收敛域为，v平面上的极点：a，a-1和z，c内极点za。,29.04.2020,.,100,2.5.12帕斯维尔(Parseval)定理利用复卷积定理可以证明重要的怕斯维尔定理。Rx-|z|Rx+Rh-|z|Rh+Rx-Rh-1Rx+Rh+,则,v平面上，c在X(z)和H*()的公共收敛域内，即,2-84,2-85,29.04.2020,.,101,证明令y(n)=x(n)h*(n)，由于ZTh*(n)H*(z*)利用复卷积公式可得,Rx-Rh-|z|Rx+Rh+,按照假设，|z|l在Y(z)的收敛域内，也就是Y(z)在单位圆上收敛。令zl，则有,如果h(n)是实序列，则两边取共扼(*)号可取消。如果X(z)，H(z)在单位圆上都收敛，则c可取为单位圆，即,29.04.2020,.,102,则(2-85)式可变为,如果h(n)x(n)，则进一步有,2-86,(2-86)式、(2-87)式是序列及其傅里叶变换的帕塞瓦公式，后者说明时域中求序列的能量与频域中用频谱密度X(ej)来计算序列的能量是一致的。z变换的主要性质见表2-4所示。,2-87,29.04.2020,.,103,2.6时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系,在第一章1.4节中已经讨论了连续信号的理想抽样，在这一节中，利用它来讨论离散信号的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系。下面来看序列的z变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系。设连续信号为xa(t)，理想抽样后的抽样信号为，它们的拉普拉斯变换分别为,(2.4.1),29.04.2020,.,104,则,将(1-41)式的表达式代入可得,2-88,抽样序列x(n)xa(nT)的z变换为,由此看出，当zesT时，抽样序列的z变换就等于其理想抽样信号的拉普拉斯变换。,2-89,29.04.2020,.,105,这两变换之间的关系，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为,下面来讨论这一映射关系。将s平面用直角坐标表示s=+j而z平面用极坐标表示z=rej将它们都代入(2-90)式中，得到,2-90,29.04.2020,.,106,因而r=eT，=T,也就是说z的模r只与s的实部相对应，而z的相角只与s的虚部相对应。(1)r与的关系，r=eTr=eT0(s平面虚轴)对应于r1(z平面单位圆上)；0(s的左半平面)对应于r1(z平面单位圆内部)；0(s的右半平面)对应于r1(z平面单位圆外部)；其映射关系可见图2-16。,29.04.2020,.,107,图2-160，0，0分别映射成r1，r1，r1,29.04.2020,.,108,(2)与的关系，T,0(s平面实轴)对应于0(z平面正实轴)0(常数)(s平面平行于实轴的直线)对应于0T(z平面始于原点辐角为0T的辐射线)。由-/T增长到/T，对应于由-增长到，即s平面为2/T的一个水平条带相当于z平面辐角转了一周，也就是覆盖了整个z平面(/T映射到z平面，即负实轴)，因此每增加一个抽样角频率从s2/T，则相应的增加一个2/T，也就是说，是的周期函数。如图2-17所示。,29.04.2020,.,109,所以s平面到z平面的映射是多值映射。,图2-18s平面与z平面的多值映射关系(以s平面左半平面为例，s右半平面则以相同方式映射到z平面单位圆外),29.04.2020,.,110,(3)先通过sz的映射关系为纽带，去找抽样序列x(n),的z变换X(z)和连续信号xa(t)的拉普拉斯变换Xa(s)的关系。由(1-46)式，时域抽样，则在s域为沿j轴(s平面的虚轴)的周期延拓，重写如下,2-91,将此式代入到(2-89)式中，可得X(z)与Xa(s)的关系,2-92,29.04.2020,.,111,(4)x(n)的z变换X(z)和xa(t)的傅里叶变换Xa(j)的关系,由于傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即sj，因而映射到z平面上为单位圆zejT，将这两个关系式代入到(2-89)式可得,2-93,就是说，抽样序列在单位圆上的z变换，就等于其理想抽祥信号的僻里叶变换。同样，将sj及zejT代入到(2-92)式可得,2-94,29.04.2020,.,112,已知(1-46)式)频谱是频谱Xa(j)的周期延拓，这一点表现在z平面的单位圆上就是是的周期函数，即它在单位圆上循环出现。,在以后的讨论中，我们用数字频率来作为z平面上单位圆的参数，即zej数字频率表示z平面的辐角，它和模拟角频率的关系为,2-95,2-96,29.04.2020,.,113,由于单位圆上的z变换是与信号的频谱相联系的，因而常称单位圆上序列的z变换为序列的傅里叶变换。,同样，可看出数字频率是模拟角频率对抽样频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2。将(2-96)式代入(2-94)式可得,2-97,29.04.2020,.,114,2.7离散系统的频域特性,2.7.1线性时不变离散系统的传输函数与系统函数1传输函数与系统函数在1.3节中讨论过，线性时不变系统在时域中可以用它的单位脉冲响应h(n)来表示，即h(n)T(n)对h(n)进行傅里叶变换，得,2-98,H(ej)称为线性时不变系统的传输函数，它表征系统的频率特性。设线性时不变系统的输入为x(n)，输出为y(n)，单位脉冲响应为h(n)，那么,29.04.2020,.,115,y(n)x(n)*h(n),对上式两端取z变换，得Y(z)H(z)X(z)则H(z)Y(z)/X(z)H(z)称为线性时不变系统的系统函数，它表征系统的复频域特性，它是系统的单位脉冲响应h(n)的z变换，即,2-99,若H(z)的收敛域包含单位圆|z|1，则在单位圆上(zej)的系统函数就是系统的频率响应H(ej)，即H(z)与H(ej)有如下关系,29.04.2020,.,116,2系统函数和差分方程的关系1.3节曾经讨论，一个线性时不变系统，可以用常系数线性差分方程来描述，其中线性时不变系统的输入为x(n)，输出为y(n)。这种常系数线性差分方程的一般形式为,因此单位脉冲响应在单位圆上的z变换就是系统的传输函数。由于H(z)的分析域是复频域，傅里叶变换仅是z变换的特例，故从名称上给与区别。有时为了简单也可以都称为传输函数，差别用括号中的变量ej或z表示。,2-100,29.04.2020,.,117,若系统起始状态为零，对上式取z变换，利用移位特性可得,于是,2-101,因此，系统函数分子、分母多项式的系数分别与差分方程的系数相当。,29.04.2020,.,118,(2-101)式是两个z-1的多项式之比，将其分别进行因式分解，可得,式中zcm是H(z)的零点，zdk是H(z)的极点，它们分别由差分方程的系数bm和ak决定。因此，除了比例常数K以外，系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。,2-102,29.04.2020,.,119,但是(2-101)式，或(2-102)式并没有给定H(z)的收敛域，因而可代表不同的系统，这和前面我们说过的，差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的，同一系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，必须同时给定系统函数和系统的收敛域才能确定系统。而对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在z平面上以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆之外。,29.04.2020,.,120,2.7.2因果稳定系统,因果系统(可实现系统)的单位脉冲响应h(n)必定满足条件当n0，h(n)0则其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，极点必定分布在某个圆内，即收敛域在某个圆外。系统稳定的必要且充分条件是h(n)必须满足绝对可和条件，即,29.04.2020,.,121,系统稳定要求，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为1|z|，或者r|z|，0r1也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。具体系统的因果性和稳定性可由系统函数的极点分布确定。,29.04.2020,.,122,例2.6.1已知分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图2-18所示。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1，这是一个非因果且不收敛的序列。(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2-19(a)所示。,29.04.2020,.,123,图2-19例2-20非因果系统近似实现,29.04.2020,.,124,2.7.3频率响应的几何确定法,利用H(z)在z平面上零点、极点的分布，通过几何方法直观地求出系统的频率响应，(2-102)式已表示出H(z)的因式分解，即用零点、极点表达的H(z)为,2-103,29.04.2020,.,125,其中K为实数，用zej代入，即得系统的频率响应为,其模等于,2-104,2-105,其相角为,2-106,29.04.2020,.,126,在z平面上，zcm(m1，2，M)表示H(z)的零点，而zdk(k1，2，N)表示H(z)的极点(见图2-20)，则复变量cm(或dk)是由原点指向cm点(或dk点)的矢量表示，因而ej-cm可以用一根由零点cm指向单位圆上ej点的矢量Cm来表示，即ej-cmCmej-dk则用极点dk指向少点的矢量Dk来表示，即Dklkej设Cm矢量为Cmmejm，其模为m，相角为m，Dk矢量为Dklk，其模为lk，相角为k，则频率响应的模，即(2-105)变成,2-107,29.04.2020,.,127,图2-20频率响应的几何解释(a)几何解释；(b)频率响应的幅度,29.04.2