掌握连续系统状态方程的离散化方法ppt课件.ppt

10.4稳定性与Liyaponov方法,1、理解Liyaponov稳定性的定义；,10.4.1Liyaponov关于稳定性的定义,1.系统的平衡状态,设初始条件（t0,x0）的唯一解为：,称为从初始条件（t0,x0）出发的运动轨迹（运动、状态轨线）。,的xe,称为系统的平衡状态。,2、掌握稳定性的判定方法。,要求：,满足,例,其平衡点为,结论：非线性系统的平衡点可能不唯一，也可能无。任何一个平衡状态可以通过坐标平移至坐标原点xe=0处。,1,2.关于稳定性的几个定义,定义,称为欧几里德范数即x与xe的距离。,1)Liyaponov意义下的稳定,称平衡状态xe为Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。,2)渐近稳定,xe稳定且从初始状态出发的状态轨线收敛于xe。,3)大范围渐近稳定,对所有的初始状态x0都渐近稳定。,4)不稳定,由s()内出发的状态轨线至少有一根会越过s()，称xe不稳定,结论：x(t)有界，xe稳定；x(t)有界且0，xe渐近稳定；x(t)无界，xe不稳定；,2,10.4.2Liyaponov第一法,线性定常（时不变）系统的稳定判据,系统在平衡状态xe=0渐近稳定的充分必要条件是A的所有特征值全部具有负实部，为内部稳定性。,若系统对于有界输入，所引起的输出有界，则称系统为输出稳定。,输出稳定的充要条件是W(s)=C(SI-A)-1b的极点全部位于s的左半平面。,例1判定系统,的状态稳定性和输出稳定性。,解：由,得,故系统平衡状态不是渐近稳定的。,由,s=-1位于s的左半平面，因而系统输出稳定。,结论：只有系统无零、极点对消且系统的特征值与其极点相同时，系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。,3,10.4.3Liaponov第二法,基本思想：构造虚拟广义的能量函数V(x)以此判定系统的稳定性。,适用范围：不能用传统方法判定系统的稳定性的情况下。,定义V(0)=0的V(x)为Liaponov函数,，亦称能量函数，,是标量函数。,1.V(x)的符号性质,正定：,半正定：,负定：,半负定：,不定：,V(x)0,V(x)0,V(x)0或V(x)0;,3.希尔维斯特判据,实对称阵P符号性质的充分必要条件是：,各主子行列式的值均大于0，P正定；,偶数阶和奇数阶主子行列式的值分别大于0和小于0，P负定；,各主子行列式的值均0，且|P|=0，P半正定；,V(x)负定，P负定，记为P0。,当a0时半负定。,可得xe=0。,若,，必有x2=0,由于,，因此必然x1=0，,亦即,不恒为0,例4确定,平衡状态的稳定性。,解：,由状态方程可得,，平衡状态非坐标原点。,设,即,，则状态方程变为：,8,Liaponov函数的说明,2、必须是应用于稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导；,1、构造Liaponov函数没有确定的方法，要求有一定的技巧，一般用于非线性系统或时变系统的稳定性判定；,3、非唯一但不影响结论的正确性；,4、最简单的形式为二次型。,作业：P66610.39、10.43,设,易知其正定，则,且当,，所以该系统大范围渐近稳定。,半负定。,若,，必有,，由于,，因此必然,，亦即,不恒为0。,易知其平衡状态为坐标原点。,时，有,课堂思考：确定,平衡状态大范围渐近稳定的条件。,9,5.Liaponov方法的应用,1）线性定常连续系统渐近稳定判据,判据,的平衡状态xe=0大范围渐近稳定,对于任意给,定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足Liaponov方程：,是系统的Liaponov函数。,且,说明：通常取Q=I。,举例,的稳定性。,判定系统,有,设,解：,10,解得,）且系统的Liaponov函数是,（Riccati矩阵微分方程，解为,P正定，系统大范围渐近稳定。,2）线性时变连续系统渐近稳定判据,的平衡状态xe=0大范围渐近稳定,对于任意,给定的连续实对称矩阵正定Q(t),必存在一个连续对称正定的矩阵P(t),满足,11,P,使下列矩阵,平衡状态xe=0渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称矩阵,亦即Krasovski法,5)非线性系统渐近稳定的Jacobian矩阵法,是系统的Liaponov函数。,且,意给定的正定实对称矩阵Q,必存在一个正定的实对称矩阵P，满足,对于任,平衡状态xe=0大范围渐近稳定,4)线性时变离散时间系统渐近稳定判据,且,是系统的Liaponov函数。,意给定的正定实对称矩阵Q,必存在一个正定的实对称矩阵P，满足,平衡状态xe=0大范围渐近稳定,对于任,3)线性定常离散时间系统渐近稳定判据,12,解:,例分析系统,在xe=