数值计算 1-2课程介绍+绪论ppt课件

常锦才信息与计算科学系jincai_heut,计算方法,随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，科学计算已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科学手段。数值计算已经成为数学工作者、计算机工作者、工程技术人员必须掌握的知识和工具。而计算方法是数学与计算机技术相结合的一门学科。,学习必要性,1956年在华罗庚教授主持下，首先设立计算数学研究组。伴随着我国独立研制成功的103计算机、104计算机、119计算机、109乙机和109丙机相继投入运行，及国民经济和国防建设对于科学和工程计算的强烈需求，这支队伍发展壮大极为迅速，高级研究人员中有冯康、徐钟济教授。“文革”十年，仍在周总理的支持下，不断发展。二十世纪五、六十年代是我国计算技术、计算数学与科学工程计算蓬勃发展的年代。研究领域几乎覆盖了计算数学的所有分支。,计算数学在中国的发展,面向结构工程和固体力学计算的边值问题数值方法；面向流体力学计算的初值与初边值问题数值方法；面向复杂系统控制的常微分方程数值解法；面向交通运输等的最优化计算，面向经济、人口和社会发展的概率统计计算；面向计算机图形与显示技术的计算几何学等。,数值逼近，有限元法，边界元法，并行计算，多重网格计算，最优化计算方法，计算几何等。,研究内容与方向,雅可比,笛卡儿,冯康,欧拉,03世纪,泰勒,拉格朗日,柯西,牛顿,莱布尼兹,伯努利,高斯,狄利克雷,维尔斯特拉斯,刘徽,16世纪,17世纪,18世纪,19世纪,20世纪,华罗庚,数学家,刘徽(约225295年),刘徽是我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献.,他的“割圆术”求圆周率,“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要,极限思想.,的方法:,高斯(17771855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,华罗庚(19101985),我国在国际上享有盛誉的数学家.,他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献,发表专著与学术论文近300篇.,偏微分方,多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是,“宽,专,漫”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业,知识漫到其它领域.,1984年来中国矿业大学视察时给,给师生题词:“学而优则用,学而优则创”.,冯康,国际上享有盛名的计算数学家.,1944年毕业于中央大学电机工程系。曾任中科院计算中心主任、名誉主任。还担任国内和国际上许多大学，研究所的兼职教授、名誉教授等职。1980年当选为中科院院士。冯康先生在上世纪五六十年代中国与世界数学界隔绝的情况下，独立创造了求解微分方程的有限元方法，并先于西方建立了严密的理论体系，是国际公认的当代计算数学的一项重大成就。并于上世纪八九十年代开创了辛几何算法。,计算方法课程简介,计算方法教学大纲,课程编号：,学时：40/60学分：3,课程性质：必修,适用专业：数学类专业,课程别名：数值分析,计算方法性质、任务,性质,“计算方法”研究用计算机解决数学问题的数值方法及,理论，是与计算机使用密切结合的实用性强的数学课程。,任务,熟练掌握常用的数值算法的构造原理和过程分析；,提高算法设计和理论分析能力；,对所学数值计算方法能编程在计算机上算出结果。,计算方法课时安排,计算方法考核方式,期末考试70,上机试验10,平时成绩20,计算方法参考教材,使用教材,实用数值分析教程,冶金工业出版社出版刘春凤、何亚丽主编,参考教材,应用数值分析,冶金工业出版社出版刘春凤、米翠兰主编,数值分析,清华大学出版社出版李庆杨主编,计算方法课的要求,1.按时上课，不迟到；,2.每次都认真完成并按时上交作业；,3.每个同学尽量做好笔记；,4.有问题及时提问，做到听得懂、会做题。,办公室：科技搂804。,学习计算方法的要求,计算方法课作业要求,每章上交一次作业，下章第一次课上交；要求必须在课前提交，课代表记录情况。实验作业要求以电子文档形式上交。,2.通过邮箱将常见错误和标准答案下发，要求必须定期去查看相关作业。,3.邮箱：jincai_heut密码：jisuan,学习计算方法的作业要求,第一章绪论,绪论,数值分析的研究对象,误差的来源与分类,相对、绝对误差，有效数字,误差的传播,避免误差的准则,研究求数学问题近似解的方法和过程,实际问题,数学模型,数值计算方法的理论,程序设计,上机计算求出结果,一数值分析的研究对象,计算数学,应用数学,在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正确结果?,研究例子:求解线性方程组,如把方程组的系数舍入成两位有效数字,它的解为x1=-6.222.x2=38.25x3=-33.65.,其准确解为：x1=x2=x3=1,一数值分析的研究对象,数值分析基本内容,Mathematica程序初步,插值与拟合,数值微分与数值积分,线性方程组的直接解法与迭代解,非线性方程的解法,常微分方程数值解法,二、数值分析的主要内容,矩阵特征值的计算,时间复杂性好_指节省时间；,空间复杂性好_指节省存储空间。,想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计.,数值分析的主要特点,三、数值分析的主要特点,为数学问题提供计算机上切实可行的算法.,所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理,计算复杂性好,通过数值实验证明算法行之有效.,数学分析(高等数学),高等代数(线性代数),微分方程,数学软件,学习数值分析的准备知识,四、学习数值分析的准备知识,误差的来源,第1节,误差的来源,误差的分类,(1)模型误差_数学模型与实际问题之间出现的误差.,(2)观测误差_由观测、观察产生的误差.,(3)截断误差_由简化问题（计算公式）所引起的解的误差(也称方法误差).,将函数展成的幂级数.,再如：函数f(x)用泰勒多项式近似代替,3.14159265358979323846,(4)舍入误差_数字计算过程中产生的误差,则数值方法的截断误差是,误差的分类,误差与有效数字,第2节,误差的一般描述,一、误差的一般描述,另外，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超,如：用毫米刻度的米尺测量一长度x，读出的数为,123mm，它是x的近似值，它的误差限是0.5mm,即,过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的,半个单位为其误差限。,误差的一般描述,绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好.误差估计的任务就是提供好的误差限,对于任何一个近似值,如果得到一个好的误差限,那么就可以肯定这些数据是准确可靠的!,相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异.,误差的一般描述,如果|e|=|x*-x|0.510-k称近似数x准确到,用四舍五入得到的数都是有效数字;,定义:,小数点后第k位,从这小数点后第k位数字直到最,左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字.,有效数字越多,误差越小,计算结果越精确.,有效数字,二、有效数字,x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字?,例1.1,x1=1.73,x2=1.7321,有效数字,解按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数分别是：187.93，0.037856，8.0000，2.7183。,注意：8.000033的5位有效数字近似数是8.0000而不是8，因为8只有1位有效数字.,按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数：187.9325，0.03785551，8.000033，2.7182818.,例1.2,有效数字,解:,3.14159265358979323846,例1.3,有效数字,注意,(1)有效数字的位数与小数点的位置无关;,(2)有效数位越多,相对误差越小.,有效数字,第3节,数值计算中的误差传播,例1.5,基本运算中的误差估计,一、基本运算中的误差估计,多元函数有类似的结果,基本运算中的误差估计,基本运算中的误差估计,基本运算中的误差估计,数值计算中应注意的问题,第4节,1.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值;,2。避免两个相近的数相减;,3.要防止大数“吃掉”小数;,2。应选用数值稳定的计算方法;,2。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。,避免误差危害的若干原则,避免误差危害的若干原则,解：,可得算法：,一、使用数值稳定的计算公式,避免误差危害的若干原则,这个算法不具有稳定性，因为,的舍入误差传播到时，该误差放大5倍，传到,时，该误差将是倍，当n较大时，误差将,淹没真值，这种递推公式不宜采用。,所以有估计式,避免误差危害的若干原则,于是,粗略地取,可得另一算法：,这个算法是稳定的，因为由引起的误差在以后的计算过程中将逐渐减小。,避免误差危害的若干原则,二、防止相近的两数相减（损失过多的有效数字）,避免误差危害的若干原则,取右端的有限项近似代替左端。,当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数吃掉从而引起计算结果不可靠.,三、防止大数吃小数,避免误差危害的若干原则,在4位有效数字的限制下，计算：,解,从左到右,逐项相加,如果先计算,再加,绝对值越小的数越先被相加很可能会优化求和的精确度.,大数吃小数例,例1.10,避免误差危害的若干原则,分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的误差,此时可以用数学公式化简后再做.,四、防止接近零的数做除数,避免误差危害的若干原则,失真的原因：除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。,例1.11,避免误差危害的若干原则,五、注意简化计算步骤，减少运算次数,避免误差危害的若干原则,求一个问题的数值解往往有多种算法，不同的算法需要不同的计算量，而计算量的大小会影响误差的积累。,若直接计算，再逐项相加共需要做4+3+2+1=10次,乘法和4次加法.,分析,若用著名的秦九韶算法：,只要做4次乘法和4次加法。,避免误差危害的若干原则,次乘法和n次加法。,推而广之,避免误差危害的若干原则,若用秦九韶算法：,只要做n次乘法和n次加法。,利用等价变换使下列表达式计算比较精确.,例1.13,避免误差危害的若干原则,避免误差危害的若干原则,避免误差危害的若干原则,（1）误差的种类及表示方法；,内容小结,内容小结,（2）有效数字的定义及求解；,（3）避免误差的五个原则。,计算：,列表分析,例1.14,避免误差危害的若干原则,计算，取，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？,答案：,思考与练习,定义1:有效数字-如果|e|=|x*-x|0.510-k称近似数x准确到小数点后第k位,从这小数点后第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字.,定义2:设x的近似值x*为:,内容回顾,算法设计遵循的条件：,（