2.3 距离空间的可分性与完备性ppt课件

距离空间的可分性有理数在实数集中的稠密性,第三节距离空间的可分性与完备性,距离空间的完备性实数的完备性,一般距离空间的完备化,已知：在实直线上，存在一个处处稠密的可数子集Q,且成立完备性定理（即柯西收敛原理)。问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密的可数子集？完备性定理是否总成立？,一、距离空间的可分性,1.距离空间中的稠密子集,定义1（稠密性)设X是距离空间，AX,BX.(1)B在A中稠密,若对于xA,xnB,使xnx(n)(2)B在X中处处稠密(或B是X的一个稠密子集),若对于xX,xnB,使xnx(n).,例1有理数集在R中处处稠密.,例2Rn中的有理点集在Rn中稠密可数.,例3多项式集合P在Ca,bLpa,b中处处稠密.(魏尔斯特拉斯一致逼近定理:x(t)Ca,b,pn(t)P,使pn(t)x(t)(n),即pn(t)按Ca,b中的距离收敛于x(t).),例4a,b上的有界可测函数集合Ba,b在Lpa,b(p1)中处处稠密.,证:x(t)Lpa,b,定义函数列,xn(t)(n=1,2,)是a,b上的有界可测函数,且有,x(t)Lpa,bx(t)pL1a,b0,0,使当E0E=a,b,m(E0)N时,m(E(xn)0,=(/2K)p,y(t)Ca,b使得m(E(x(t)y(t)(由鲁金定理)不妨设y(t)K,E0=E(x(t)y(t),(x,y)0,p(t)PCa,b,使(x,p)=max|x(t)-p(t)|0,p0(t)P0P,使(p,p0)=max|p(t)-p0(t)|0,p0(t)P0PCa,b,使(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)|0,有理系数多项式p0(t)P0，使C(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|N时,有(xm,xn)0,N,当m,nN时,同时有(xn,x)N时,有(xm,xn)(xn,x)+(xm,x)0,N=N(),当m,nN时,有(xn,xm)=max|xn(t)-xm(t)|N时，有|xn(t)-xm(t)|N时,有,设xi(k)xi(k)(i=1,2,n),令x=(x1,xn)Rn,（k）,Rn按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的.,xi(k)是基本列,因而xi(k)收敛,0,N,当k,jN时,有,0,N,当kN,j时，有,例6空间Lpa,b、lp、l(orm)、c均为完备的距离空间。,证:x(k)l为一基本列,对于i=1,2,n,当k,jN时,有|xi(k)xi(j)|N时，有,x(k)lxi(k)Mk,(k=1,2,)xixi-xi(k)+xi(k)+Mk,i=1,2,x=x1,x2,xn,)l,0,N,当k,jN时,有,例7有理数集Q按距离(x,y)=|x-y|是距离空间,但不完备.事实上，在有理数集Q中，有理数列(1+1/n)n收敛,因而是基本列,但其极限为eQ，故Q不完备.,例8a,b上实系数多项式全体Pa,b按Ca,b中通常的距离构成Ca,b的子空间,但它是不完备的距离空间。事实上,存在多项式列pn(t)一致收敛于x(t):x(t)Ca,b.x(t)Pa,b,(但是确实存在着不完备的距离空间),例9C0,1按距离构成的距离空间,是L10,1的子空间，但它按1(x,y)不完备.,(m=1,2,),xmC0,1是基本列。,证:构造函数列xm(t)C0,1:,如果存在x(t)使1(xm,x)0(m),由于,显然x(t)C0,1，所以C0,1按距离1(x,y)不完备。,可以证明xm在C0,1中按1(x,y)不收敛。,例10Ca,b按距离构成的距离,空间是L2a,b的子空间，但它按2(x,y)不完备.,证:构造函数列xn(t)Ca,b:,|xn(t)|0,N0,当nN时,(xn,x)N,mN时,(xn,xm)(xn,x)+(x,xm)xn是基本列“必要性”设xnX是基本列,X完备xnX是收敛点列（完备性定义）2）“必要性”设xnFX是基本列，F是X的闭子空间.X完备，xn是基本列xX,使xnx(n)F闭xF=Fxn在F中收敛F完备“充分性”设F完备.xnF，xnxxnF是基本列，F完备xFF是闭的。,3.完备距离空间的两个基本定理,定义5（稀疏集与第二纲集）设X是距离空间1）若X中任一个球都含有某一个球，使后者不含A的点，则称A为X中的稀疏集（疏朗集）。2）若A=An，每个An都在X内稀疏，则称A是在X内的第一纲集,而X内的非第一纲集的集合称为第二纲集.注：1在稀疏集定义中，“任意球”可以是开球或闭球.2在R中，有理数集是第一纲集，而无理数集是第二纲集。,定理3设X是距离空间，A是稀疏集A不在X的任意球中稠密。,证“”设A稀疏S(x0,),S(x1,)S(x0,),使S(x1,)A=A不在S(x0,)中稠密“”设A不在任一球中稠密S(x0,),x1S(x0,),但x1AS(x1,)S(x0,),使S(x1,)A=,定理4(第二纲集定理)设X是完备的距离空间，则X是第二纲集。,推论:给定完备的距离空间X,若AX是第一纲集,则AC是第二纲集。例如:由于有理数是R内的第一纲集，故无理数是R内的第二纲集。,注：1）闭球套定理是完备距离空间中的重要定理之一；刻划了距离空间的完备性；是实数中的康托区间套定理的推广。,2）第二纲集定理是完备距离空间的重要定理之二。,完备性可以使空间具有很好的性质和广泛的应用，对于不完备的距离空间，它在应用上将会造成很多困难。,4.距离空间的完备化,问题：能否在不完备的距离空间中补充一些新“点”，使之成为完备的距离空间？,例如在有理数集Q中加入“无理数”，便得到完备度量空间R，并且Q在R中稠密。这就是所谓的距离空间完备化问题。,定义6（等距映射与等距同构）设(X,X)和(Y,Y)是两个距离空间,如果存在一个满射T:XY,使得x,yX,有Y(Tx,Ty)=X(x,y)则称T使X到Y的等距映射，并称X与Y是等距同构的。,定义7（完备化空间）设(X,X)是距离空间,(Y,Y)是一个完备的距离空间，Y1Y,如