2.2 矩阵的运算 完整ppt课件

.,2.2矩阵的运算,上页,下页,返回,首页,四、矩阵的转置,五、矩阵的行列式,一、矩阵的加法,二、矩阵的数乘,三、矩阵的乘法,矩阵的乘法的定义、,矩阵的转置及其性质,矩阵加法与矩阵数乘的性质,矩阵的乘法的性质,结束,铃,.,一、矩阵的加法,下页,1.定义2.3设A与B为两个mn矩阵,A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和，记为AB。即,.,例1设,A+B=,3+15+37+22+0,2+20+14+53+7,0+01+62+43+8,4892,41910,07611,。,下页,矩阵的加法：设A(aij)mn与B(bij)mn，则A+B=(aij+bij)mn。,.,2.运算规律,注意：,只有当两个矩阵是同型矩阵时,设A,B,C为同型矩阵,则,(1)A+B=B+A(加法交换律);,(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律);,加法运算。,二者才能进行,.,3.负矩阵与矩阵减法,若记-A=(-aij),则称-A为矩阵A的负矩阵.,显然有A+(-A)=O.,定义矩阵的差为：,A-B=A+(-B).,其中O是与A同型的零矩阵;,例如，,C的负矩阵为:,.,定义4.4设A(aij)为mn矩阵,则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA。即,下页,二、数与矩阵相乘（数乘）,.,矩阵的数乘：设A(aij)mn，则kA=(kaij)mn。,例2设,3A,33353732,32303433,30313233,915216,60129,0369,。,下页,.,行列式的某行（或列）有公因子即可提出,但矩阵的每一个元素都有公因子时才可以提出.,思考：数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么区别？,答：,数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的某一行,（或列）；,而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的每一个,元素。,即：,.,2.数乘矩阵满足的运算律设A,B为同型矩阵,为常数，则,(1)()A=(A);结合律(2)(+)A=A+A.分配律(3)(A+B)=A+B.分配律,矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。,.,解：3A-2B,2640,421014,012816,915216,60129,0369,。,79176,2-22-5,0-9-2-7,9-215-621-46-0,6-40-212-109-14,0-03-126-89-16,下页,.,下页,练习,.,定义2.5设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：,构成的mn矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积，记为CAB。,下页,则由元素cijai1b1jai2b2jaisbsj(i1,2,m；j1,2,n)。,三、矩阵的乘法,.,解：,-6,-7,8,下页,.,解：,-6,-7,8,-3,0,-3,；,下页,.,解：,-6,-7,8,-3,0,-9,-7,-3,5,；,下页,.,4,-9,8,3,，,解：,-6,-7,8,-3,0,-9,-7,-3,5,；,下页,.,解：,-32,-16,16,8,，,0,0,0,0,，,下页,.,AB=,解：,可见，矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA。两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而AB=O推不出A=O或B=O。,下页,练习,.,解：,3,1,1,0,，,3,1,1,0,，,显然AB=BA。如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换。,下页,.,解：设,a1,b1,c1,a2,b2,c2,0,0,0,0,a,b,0,a1,b1,0,a2,b2,那么,，,，,下页,.,解：设,AB,那么,令AB=BA，则有a1=a2=b2=0，b1=c2=a，c1=b。于是与A可交换的矩阵为,其中a，b，c为任意数。,下页,.,显然AC=BC，但AB。矩阵乘法不满足消去律。,下页,.,(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)。,应注意的问题：,(1)ABBA；,(3)AB=O,A=O或B=O。,(2)AC=BC,A=B。,下页,例11证明：如果CA=AC，CB=BC，则有(A+B)C=C(A+B)，(AB)C=C(AB)。证：因为CA=AC，CB=BC，所以有,(A+B)C,=AC+BC,=CA+CB,=C(A+B)，,(AB)C,=A(BC),=A(CB),=(AC)B,=(CA)B,=C(AB)。,矩阵乘法的性质：,.,四、方阵的幂,如果A是n阶矩阵,那么AA有意义,也有意义,()定义,k个相乘称为的k次幂，记为k,定义设A是n阶矩阵,k是正整数,规定,1=A,2=,A,k+1=,k,即,因此有下述定义:,.,(2)运算规律设A为方阵,k,l为正整数,则,对n阶方阵A与B一般来说,由于矩阵乘法一般不满足交换律，,AkAl=,注意,的乘法公式不一定成立.,所以初等数学中,(AB)kAkBk；,(A+B)2A2+2AB+B2；,(A+B)(A-B)A2-B2；,(Ak)l=,Ak+l,Akl.,.,定义2.6将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果,例如，设x=(x1x2xn)，y=(y1y2yn)，则,(y1y2yn),xTy,。,下页,五、矩阵的转置,.,转置矩阵有下列性质：(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(kA)T=kAT；,下页,定义2.6将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果,五、矩阵的转置,(4)(AB)T=BTAT。,.,例设A与B是两个n阶对称矩阵。证明：AB是对称矩阵,的充分必要条件是A与B可交换。,证:,因为A、B是对称矩阵，所以,1、若AB是对称矩阵，则有,于是有,所以A与B可交换。,2、若A、B是可交换，则有,于是有,所以AB是对称矩阵。,证毕,.,一个由n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即,n阶方阵的行列式具有的运算律：(1)|AB|=|A|B|；(2)|AT|A|；(3)|lA|ln|A|。,下页,六、方阵的行列式,.,例12设A=(aij)为三阶矩阵，若已知|A|=-2，求|A|A|。,解：,|A|A|=,=(-2)3|A|,=(-2)3(-2),=16。,提问：设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=m，问|-mA|=?答：-m4。,结束,.,课堂练习：,2、设A、B为n阶矩阵，且A为对称阵，证明：,也是对称阵。,3、设列矩阵,满足,E为n阶单位矩阵，,证明：H是