离散型随机变量的数字特征

1,第三节离散型随机变量的数字特征,2,一、随机变量的数字特征(1),通过多次重复测量并进行某些统计计算，可增加测量得到的信息量。有两项最基本的统计计算：求一组数据的平均值或算术平均值（数学期望），以及求单次测量或算术平均值的标准偏差（方差）。,绝大部分数据集中在平均值附近,数学期望由无穷多次测量获得,3,随机变量X的期望定义为“无穷多次测量值的算术平均值”，记为E(X)或，表示对该随机变量X进行无穷多次测量所得测量值xi的算术平均值的极限值。数学期望表征随机变量分布的中心位置，随机变量围绕着数学期望取值。如前所述，对于离散型随机变量，在重复条件下(或复现性条件下)对随机变量X进行n次独立测量，得到测量列x1，x2，xn。则变量X的数学期望可表示为：(2-29)在数理统计中把期望称为总体均值。,一、随机变量的数字特征(2),就测量而言，数学期望是被测量的最佳估计值,4,一、随机变量的数字特征(3),如前所述，若随机变量为被测量，则其数学期望就是该被测量的最佳估计值，是代表测量结果的量值。对于被测量而言，人们除了关系数学期望这一参数量外，还关心另外一个参量描述测量结果质量的参量。测量结果的质量可以用测量数据分散性来描述。为了说明被测量值与统计平均值的分散程度，一种最直接的方法就是将所有的随机误差相加，随机误差之和大的，其分散性大的，其可信程度或质量就低，随机误差之和小的，其分散性小的，其可信程度或质量就高。,随机误差,5,一、随机变量的数字特征(4),例如，今有一个物品由两种方法测量，分别测得如下测量值：x11，x12，x1nx21，x22，x2n由于随机误差的抵偿性，其随机误差之和分别为：因此，得不到分散性的任何信息。,6,一、随机变量的数字特征(5),如两种方法的数学期望相同：亦即两种测量方法的测得量值相等。既然两种方法的分散性不宜由随机误差相加获得。我们用随机误差绝对值相加：显然，表明方法1的分散性小，其测量结果质量比第二种方法高。但是，绝对值不便于进行数学运算，为此需要另想办法。,7,一、随机变量的数字特征(6),既然绝对值不便于进行数学运算，我们用随机误差的平方相加，正负随机误差同样不会相互抵消。如果这表明方法1的分散性小，其测量结果质量比第二种方法高。这种比较只有在两种测量方法的测量次数相同的情况下才有效。如果两种方法测量次数不相同，例如第一种测量方法的测量次数为200次，第二种测量方法的测量次数为100次。当则并不能说明第二种方法的质量更高，为此引入了方差的概念。,8,方差定义为：随机变量X的每一个可能值对其数学期望的误差之平方和的数学期望。由此定义可知，随机变量的方差实际上是随机误差的平方之和的平均值。它也可以描述随机变量X的每一个可能值对其数学期望的分散程度，故有时又称为散度，即离散型随机变量的方差有如下表示方式：显然，表明，第一种方法的方差小，即其分散性比第二种方法的分散性小，第一种方法的测量结果质量比第二种方法高。,一、随机变量的数字特征(7),方差是随机变量的随机误差平方之和的平均值,方差：随机误差平方的数学期望,9,【特别提示】为了说明随机变量的分散性或离散性，没有采用对(xi)求平均，而是采用对(xi)2求平均，是因为取平方后再进行平均不会使正负方向的误差相互抵消，从而不会损失信息。此外，采用平方后再平均的方法，能够使个别较大的误差经过平方后在求和公式中占的比例更大，从而使方