搞定高中数学的15个绝招

欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246搞定高中数学的15个绝招绝招01 构造函数的通法绝招02 破译函数中双变量问题绝招03 直击函数压轴题中零点问题绝招04 解密三角函数之给值求值问题绝招05 破译线性规划中含参问题绝招06 解密数量积的问题绝招07 如何由数列前n项和求数列通项绝招08 破译空间中有关外接球的问题绝招09 如何求空间坐标系中非特殊点的坐标绝招10 解密解析几何中乘积或比值问题绝招11 破译解析几何中点差法通法绝招12 解密二项分布和超级几何分布的区别绝招13 解密二项式系数和及二项式展开项的系数和绝招14 新背景下的函数、数列、概率问题绝招15 破译绝对值不等式中的含参问题一、单选题1设函数f (x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf (x)f(x)0成立的x的取值范围是( )A. (，1)(0，1) B. (1，0)(1，)C. (，1)(1，0) D. (0，1)(1，)【答案】A考点：函数性质综合应用2若定义在上的函数满足，其导函数，则下列结论中一定错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：令，则，因此，所以选C. 考点：利用导数研究不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等3设定义在(0，)上的函数f(x)满足xf(x)f(x)xlnx， ，则f(x)()A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值 D. 既无极大值，又无极小值【答案】D点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等4设函数在上存在导函数，对于任意实数，都有，当时， 若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,设，则为奇函数，又在上是减函数，从而在上是减函数，又，等价于，即，解得，故选C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求参数范围, 属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 5设定义在R上的函数满足任意都有，且时， ，则的大小关系（ ）A. B. C. D. 【答案】C 6已知函数在上单调递减， 为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D. 【答案】D点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数，并利用导数分析的单调性7已知定义在上的函数，其导函数为，若， ，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D点睛：利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键. 8已知定义域为的奇函数的导函数为，当时， ，若， ， ，则， ， 的大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设h（x）=xf（x），h（x）=f（x）+xf（x），y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x0时，h（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数h（x）单调递增a=f（）=h（），b=f（1）=f（1）=h（1），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（ln2）=h（ln2），又1ln2，bca故答案为：D。9设定义在R上的函数,对任意的,都有, 且,当时, ,则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】A点睛：本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.10设函数是奇函数（）的导函数，当时， ，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设，当时， ， 在上为减函数，且，当时， ， ；当时， ，为其函数， 当时， ；当 时， .综上所述：使得 成立的的取值范围是【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有与的积或商， 与的积或商， 与的积或商， 与的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式.11设为的导函数，已知则下列结论正确的是（ ）A. 在上单调递增 B. 在上单调递减C. 在上有极大值 D. 在上有极小值【答案】B【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数证明函数的单调性,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 12已知定义在上的函数,满足; (其中是的导函数, 是自然对数的底数),则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A13已知为上的可导函数，且，均有，则有A. B. C. D. 【答案】D【解析】构造函数 来即在上单调递减，所以 ，同理得 故选D点睛：本题主要考察了函数的单调性与导数的关系，其中构造函数g（x），并讨论其单调性是关键.二、填空题14已知函数是函数的导函数, ,对任意实数都有,则不等式的解集为_.【答案】点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于，可构造函数；（2）对于，可构造函数15设f(x)是在R上的奇函数，在上且，则的解集为_.【答案】（-1,0） (0,1）【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式, 属于难题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 16是定义在上的函数，其导函数为，若， ，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为_【答案】【解析】设g(x)= ，则g(x)= f(x)+ f(x)+ = f(x)f(x)+1，f(x)f(x)1,f(x)f(x)+10，g(x)2017= g(1)，得到g(x)2017=g(1)，g(x)g(1)，得xx2，都有mg(x1)g(x2)x1f(x1)x2f(x2)恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3) .试题解析：(1)x0)，F(x)ln xx1，令t(x)F(x)ln xx1，则t(x)1，令t(x)0，解得0x1，令t(x)1，故F(x)在(0，1)上递增，在(1，)上递减，故F(x)F(1)0，故F(x)在(0，)上递减；点睛：构造函数的题型需要观察题目函数的关系，本题中第（3）问将式子整理可得x1x21时，mg(x1)x1f(x1)mg(x2)x2f(x2)恒成立，则联想到构造函数h(x)mg(x)xf(x)x2xln x，再结合单调性进行解题。12已知函数.（1）若函数在定义域内不单调，求实数的取值范围；（2）若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；（3）若且，求证： .【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：(1)对函数求导有，则原问题等价于方程有大于零的实根，结合二次方程根的分布理论可得；(2)原问题等价于在区间内恒成立，结合均值不等式的结论可得；(3)当时，不等式显然成立，当，等价转化后结合（2）的结论即可证得题中的结论.（2）函数在区间内单调递增， 在区间内恒成立，即在区间内恒成立在时取得最小值， （3）当时，不等式显然成当，只需证明，令，则只需证明成立，由（2）可知在上是增函数，点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本绝招在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用13已知函数f(x)(x1)ex(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数(x)xf(x)tf(x)ex，存在实数x1，x20,1，使得2(x1)(x2)成立，求实数t的取值范围【答案】(1)见解析 (2) (，32e).【解析】试题分析：（1）确定函数的定义域，求导数利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）假设存在，使得成立成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围 (2)假设存在，使得成立，则.对于，当时， ， 在上单调递减，即.当时，QQ群557619246 ， 在上单调递增，即.当时，若，则， 在上单调递减；若，则， 在上单调递增，即.(*)由(1)知， 在上单调递减，故，而不等式(*)无解综上所述， 的取值范围为14设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围【答案】(1) 见解析(2) 1,1【解析】试题分析：（1）利用说明函数为增函数，利用说明函数为减函数，要注意参数的讨论；（2）由（1）知，对任意的， 在单调递减，在单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题从而求得的取值范围 (2)由(1)知，对任意的， 在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值所以对于任意， 的充要条件是即设函数，则当时， ；当时， 在上单调递减，在上单调递增点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，用导数解决恒成立求参的问题，对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题，或者直接求函数最值，使得函数最值大于或小于0，或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数. 15已知函数， （）若，求函数的极值；（）若,使得（），求实数的取值范围【答案】（）见解析（）【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）设在上的值域为A，函数在上的值域为B，根据函数的单调性求出实数的取值范围（）当时， 因为， ，使得（），故；设在上的值域为A，函数在上的值域为B，当时， ，即函数在上单调递减，故，又.（i）当时， 在上单调递减，此时的值域为，因为，又，故，即； （ii）当时， 在上单调递增，此时的值域为，因为，又，故，故；综上所述，实数的取值范围为16已知(1)证明: 图象恒在直线的上方;(2)若在恒成立,求的最小值.【答案】(1)见解析(2) 的最小值为试题解析：(1)由题意只需证即证明在上恒成立.令,即在单调递增.又,所以在在唯一的解,记为,且,可得当,所以只需最小值,易得,所以.所以结论得证.(2)令,则,所以,当时, ,要使,只需,当时, 此时有,不符合题意,舍去.当时,令得,可得当时, .即时, ,不符合题意,舍去.综上, ,又,所以的最小值为.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.一、解答题1已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间内有唯一的零点，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，且，于是： ， 由得，设g(x)lnx，(x(0，1)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，且 Z&X&X&K于是： 由得，设，则，因此在上单调递减，又， 根据零点存在定理，故.点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法.2设函数f(x)x2bx1(bR)(1)当b1时证明：函数f(x)在区间内存在唯一零点；(2)若当x1,2，不等式f(x)1有解求实数b的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间单调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题： ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b的取值范围 (2)由题意可知x2bx11在区间1,2上有解，所以bx在区间1,2上有解令g(x)x，可得g(x)在区间1,2上递减，所以bg(x)maxg(1)211 ，从而实数b的取值范围为(，1)点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点3已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知R且， ，求证：方程在区间上有实数根.【答案】见解析;见解析.【解析】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3）方程在区间上有实数根，即有零点，结合零点存在定理可以证明.试题解析：,当时， ，函数有一个零点； 当时， ，函数有两个零点设，则 , 在区间上有实数根， 即方程在区间上有实数根. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解4已知函数图象上一点处的切线方程为.(1)求的值;(2)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底).【答案】(1)a=2,b=1.(2) .【解析】试题分析：本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用(1)根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解(2)先利用导数研究函数h(x)=f(x)+m=2lnxx2+m的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解 (2)由（1）得f(x)=2lnxx2，令h(x)=f(x)+m=2lnxx2+m，则，令h(x)=0，得x=1(x=1舍去)故当x时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(1，e时，h(x)0，h(x)单调递减方程h(x)=0在内有两个不等实根，解得实数的取值范围为.点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数； （3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5已知函数，其中为自然对数的底数， （I）若，函数求函数的单调区间若函数的值域为,求实数的取值范围（II）若存在实数,使得，且，求证： 【答案】（1）详见解析实数的取值范围是；（2）；试题解析：（1）当时， .由得，由得.所以函数的单调增区间为，单调减区间为.当时， ，所以在区间上单调递减；当时， ，所以在区间上单调递增.在上单调递减，值域为,因为的值域为，所以，即. （2）.若时， ，此时在上单调递增.由可得，与相矛盾，同样不能有.不妨设，则有.因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时， .由，且，可得故.又在单调递减，且，所以，所以，同理.即解得，所以. 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.6已知函数.（1）当时，求在上的值域；（2）试求的零点个数，并证明你的结论.【答案】（1）（2）当时， 只有一个零点；当时， 有两个零点（2）原方程等价于实根的个数，原命题也等价于在上的零点个数，讨论， ， ，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果.QQ群557619246试题解析：（1）当时， ，则，而在上恒成立，所以在上递减， ，所以在上存在唯一的，使得，而且当时， ， 递增；当时， 递减；所以，当时， 取极大值，也是最大值，即，所以， 在上的值域为.（I）若，则当时， 恒成立，则没有零点；当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点。（II）若，则当时， 恒成立，则没有零点；当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点（III）若，则当时，由 ，则，则取，则，又，所以在有唯一的零点，当时， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点综上所述，当时， 只有一个零点；当时， 有两个零点 7已知函数（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；（2）在（1）中， 取最小值时，设函数.若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）证明不等式： （且）.【答案】(1) ；(2) ；QQ群557619246(3)证明见解析.(2)由(1)可知， ，当时， ， ， 在区间上恰有两个零点，即关于的方程在区间上恰有两个实数根. 整理方程得， ，令， ， 令， ，则， ，于是， 在上单调递增.因为，当时， ，从而， 单调递减，当时， ，从而， 单调递增， ， ， ，因为，所以实数的取值范围是. (3)由(1)可知，当时，有，当且仅当时取等号.令，则有，其中 . 整理得： ， 当时，QQ群557619246， ， ， ，上面个式子累加得： . 且，即.命题得证8已知函数，其中.（1）设，讨论的单调性；（2）若函数在内存在零点，求的范围.【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.解析：（1）定义域 故 则 若，则 在 上单调递减；若，则 .（i） 当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；（ii）当时， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上单调递减，在单调递增. （ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时， ，故 在 上为减函数，又 ，所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.9设函数， （）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于 两点求证： .【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得，又，解方程组可得的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得的最小值；(3)先根据零点表示b，代入要证不等式化简得.再构造函数，以及，结合导数研究其单调性，即证得结论（2）当时，则，又，设，则题意可转化为方程在上有相异两实根 即关于的方程在上有相异两实根所以，得，所以对恒成立 因为，所以（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是，所以故的最小值为. （3）当时，因为函数与的图象交于两点，所以，两式相减，得. 要证明，即证，即证，即证. 令，则，此时即证令，所以，所以当时，函数单调递增又，所以，即成立；再令，所以，所以当时，函数单调递减，又，所以，即也成立综上所述， 实数满足.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 10已知函数.（）讨论的单调性;（）当函数有两个不相等的零点时,证明: .【答案】(1)见解析(2)见解析试题解析：（）当时， 在单调递增；当时， 在单调递减； 在单调递增；点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.11已知（1）讨论的单调性；（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是;(2) 的取值范围是.【解析】试题分析：（1） 求出函数的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性（2）由题意得函数在上的值域为结合题意可将问题转化为当时，满足的正整数解只有1个通过讨论的单调性可得只需满足，由此可得所求范围（2） （2）由（1）知当时， 取得最小值，又，所以在上的值域为因为存在及唯一正整数，使得，所以满足的正整数解只有1个因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，解得所以实数的取值范围是点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）12设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若存在、满足.求证： （其中为的导函数）【答案】（1）见解析（2）见解析试题解析：（1）由题知 .当，此时函数在单调递增，在单调递减.当，此时函数在单调递增.（2）因为，由（1）知不妨设，由得， 即， 所以. ， 总成立，原题得证.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本绝招在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用13已知函数.（）求函数的单调区间；（）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.【答案】（）见解析（）试题解析：解：（）函数的定义域为，.由得或.当时， 在上恒成立，所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.当时， 的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.当时， 的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.14已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理， 在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果（2）由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理， 在区间内存在零点，所以在区间内恰有两个零点由（1）知，当时， 在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意当时， 在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；所以15已知函数，其中.（1）设，讨论的单调性；（2）若函数在内存在零点，求的范围.【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.【解析】试题分析：（1）求导可以得到，分三种情况讨论导数的符号.（2）计算可以得到，其导数为，我们需要讨论的符号，故需再构建新函数，其导数为，结合原函数的形式和的形式，我们发现当时恒成立；当时， 在上有极小值点 ，结合可知 在上有零点；当时， 恒成立，结合可知， 在上也是恒成立的，故而在上递增恒成立.（i） 当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；（ii）当时， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上单调递减，在单调递增.（2）设 ,，设，则 . 先证明一个命题：当时， .令， ，故在上是减函数，从而当时， ，故命题成立.若 ,由 可知， .，故 ，对任意都成立，故 在上无零点，因此.（ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时， ，故 在 上为减函数，又 ，所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.16已知函数（且）（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，设，若有两个相异零点，求证： .【答案】(1) 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由知分， 两种情况讨论即得解；（2），设的两个相异零点为，设，因为， ，所以， ，相减得，相加得.要证，即证，即，即，换元设上式转化为.构造函数求导研究单调性即可得证.（2），设的两个相异零点为，设， ， ， .要证，即证，即，即，设上式转化为.设，在上单调递增，.点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了不等式的证明，利用零点的式子进行变形，采用变量集中的方法构造新函数即可证明，综合性强属于中档题17设函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.【答案】(1) 函数的单调递增区间为;(2) 的取值范围是.试题解析：（1）函数的定义域为，则使的的取值范围为， 故函数的单调递减区间为故在区间内恰有两个相异实根即，解得： 综上所述， 的取值范围是一、单选题1若， ，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A 2已知,则的值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选D二、填空题3已知， ，则_【答案】7点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题一般， ，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三。4已知， ，则_【答案】【解析】， ，所以.答案为: .5