统计物理与热力学课程(陈培锋)第三讲

统计物理基本方法与学习,粒子系统的基本运动形式,近独立粒子系,平动、振动、转动,相空间表示系统的微观态和宏观态,宏观分布、宏观分布的组态数微观态的等概率原理,组态的概率、宏观分布的概率最概然分布与平衡态,1、偏离最概然分布的概率很小,实例：设N=2n个粒子处于一个体积V中，等体积地将V划分成2个1,2，则最概然分布(平衡态)应该是2n均匀分布在2个1,2中(n1=n2=n),相应的微观状态数为W*=(2n)!/n!n!。设在最概然分布附近有一个分布n1=n-n，n2=n+n，相应的微观状态数为W=(2n)!/(n-n)!(n+n)!。,比较两种状态的微观组态数,取对数利用斯特林公式,偏离的概率,平衡态的概率,如果n/n数更大时,上述数值就更小了,这说明当N时,最概然分布可以代表真实分布,从而体系总的微观状态数完全可以用最概然分布所拥有的微观状态数取而代之,取n/n=0.1%，对于1mol的分子体系，n=6.0221023，即得,这是一个极其微小的数值,但如果n不太大呢？,回顾：物理量的相对涨落与粒子数平方根成反比,系统处于平衡态时,能量、温度、粒子数、体积、密度等重要物理量的相对涨落都反比于当涉及大量粒子时,涨落现象很微弱,以致可以忽略这个结果说明,对平衡态的偏离随着N而趋于可以忽略,2、微观态与宏观态,设体系由3个独立的一维谐振子组成。体系总能量E=(9/2)h(平衡位置的势能规定为0),体积为V(显然,3个粒子不能作为宏观体系,此处纯粹为了能具体形象说明问题)系统状态为(N,V,E)=(3,V,9h/2)求出宏观态分布和相应的微观组态,的分割,将粒子的能量分为01h,12h,23h,若干段,每一段的能量记为1h/2，3h/2,5h/2,7h/2,在考虑各种宏观态和微观态时,必须要满足下列两个守恒条件其中ni为能级段i上的谐振子数,注意每一能量段的面积相等,以x和p为直角坐标,可构成二维的空间,给定振子的能量,代表点的轨迹是椭圆,椭圆的面积等于,故相邻两能级对应于空间中的相体积(椭圆壳层的面积)为,当四个能量段间隔相等时，四个相元面积相等：,粒子可以编号分辨,用a,b,c分别作为谐振子的编号。能够满足(3,V,9h/2)的所有可能的微观组态如下,各种宏观分布的微观组态数,第三讲,量子气体的特征和量子气体状态统一描述,量子统计特点,建立在量子力学基础上的量子统计物理和建立在经典物理基础上的经典统计物理,基本的统计假设和统计方法是相同的只是所处理的对象的运动满足量子力学规律,它们会对平衡态统计产生深刻的影响,一、量子力学基本原理,(1)量子系统的状态用希尔伯特空间中的矢量描述。(2)描述微观系统的物理量是厄米算符，物理量的可测量值是相应算符的本征值。一般情况物理量的测量具有不确定性，物理量A在状态上取值为ai的概率与态在A的归一化本征矢量ai上的投影的模方成正比。(3)微观系统中粒子在直角坐标系中的坐标与动量算符满足对易关系xi,xj=pi,pj=0，xi,pk=ihik/2。(4)微观系统状态随时间的演化规律由薛定谔方程描述。(5)全同粒子系统的全同性原理。,1、能量量子化假说(Planck,1900),解释黑体辐射一维谐振子的能量是量子化的2、光量子假说(Einstein,1905)光具有粒子性，解释光电效应,光的二象性,量子力学假说,3、物质波假说(deBroglie,1923)粒子具有波动性,是波动力学的基础4、薛定谔方程(Schrodinger,1923),5、波函数的统计诠释(Born,1926),波函数所描写的是粒子在多维位形空间中概率分布的概率波。波函数包含了量子体系所有可以确定的信息，即波函数给定后，粒子所有力学量的观察值的分布概率也就确定了。6、不确定度关系式(Heisenberg,1927),7、微观粒子的全同性原理任何2个全同粒子的交换不产生新的量子态。在全同多粒子体系中,全同粒子交换时不变的状态是可实现的。两粒子的波函数不重叠时粒子可分辨,重叠时不可分辨。8、Pauli原理，1925年占据同一单粒子量子态的费米子不可能超过一个。,全同粒子体系微观运动状态的量子规律,来源于原子光谱的实验,量子力学发展与争论,19世纪已将物理大厦全部建成,今后物理学家的任务就是修饰完善这所大厦开尔文1899年新年献词同时也提到,物理学的天空还漂浮着两朵小小的“乌云”黑体辐射、光电效应、原子的稳定性、原子的线状光谱、低温下的热容波尔与爱因斯坦的争论量子力学“幽灵超距作用”通过最严格的检验(2015年8月24日,代尔夫特理工物理学家罗纳德汉森(RonaldHanson)团队),索尔维会议(1927,第五届),尼尔斯玻尔(1885.10.71962.11.18)阿尔伯特爱因斯坦（1879.3.14-1955.4.18）,二、粒子运动状态的量子描述,(一)、有限空间范围内的自由粒子的量子态及能级1、一维自由平动子,粒子处在长度为a的一维容器中运动,粒子的势能函数为,在容器外x0和xa的区域,由于V(x)=，在容器内(0Tr,能级可以看作连续,3.引入分子振动特征温度,TT很难满足,能级不可以看作连续,五、近独粒子系统的经典描述与量子描述的统一,为了统一描述近独粒子系的统计理论,将经典理论的子相空间按照量子态分区,每一个的体积都取为多个hs,对应一定数量的量子态。这样近独粒子系统的经典描述与量子描述就统一起来了,在经典描述中,根据上一讲的表述,系统宏观分布以j表示子相宇体元，j(jl，2，)表示粒子在子相宇体元j中的能量,N个粒子在各j的分布可以描述如下：子相宇体元1，2，j能级1，2，j，粒子数a1，a2，aj现在在量子描述下,上述的描述将变换为：设有一个系统,由大量全同近独立的粒子组成,以l(ll，2，)表示粒子的能级,l表示能级l的简并度。N个粒子在各能级的分布可以描述如下：能级1，2，l，简并度