谈牛顿第二定律的解题方法.doc

谈牛顿第二定律的解题方法北京市第22中学 学校 鞠华 内容提要:新一轮物理课程改革为了对学生进行科学方法教育，增加了一些基本的探究实验活动，使学生有更多的机会去经历探究活动以获得对知识的深入理解，掌握解决问题的方法。因此，物理课程标准强调通过科学探究，使学生经历基本的科学探究过程，学习科学探究方法，发展初步的科学探究能力，形成尊重事实，探索真理的科学态度。但怎样把科学方法作为物理知识的脉络去组织教材，安排教学进程，让学生在不知不觉之中沿着科学的思路去感知，去品味、去体验、去思考科学方法，在不知不觉之中领略到其中所应用的科学方法，大多数物理教师并不清楚。本文从牛顿第二定律应用的角度出发，谈一谈方法的应用。主 题 词：牛顿第二定律 物理方法 应用 在牛顿第二定律的应用中，往往大家都采用隐性教育方式，不明确提出怎样应用相应的物理方法处理牛顿第二定律的实际问题，这样做，会使学生无穷无尽的去做成百上千道题而不能掌握解决问题的方法。长期这样下去，势必会导致学生厌烦、害怕去做牛顿第二定律应用方面的题，所以我要打破这种隐形教育的方式，采用显化的方法，把牛顿第二定律应用的物理方法总结归纳出来，这些物理方法中，最为重要的是隔离法。(一)、隔离法牛顿第二定律应用物理方法之一隔离法求解的一般步骤：1、 根据题意选择研究对象，并把视为研究对象的物体与其他和他相关联的物体隔离出来。2、 对研究对象进行受力分析， 3、 列出各个研究对象的动力学方程4、 求解要深刻的理解隔离法，我们先从最基础的“两体问题”入手，因为这是组成系统的最简单情况，也是我们分析隔离法的基础。我们来看下面这个例子，就可以“一隔离到底”。N例1、如图1所示，质量为M的车箱放在水平面上，木箱中的立杆上有一个质量为m的小孩，开始时小孩在杆的顶端，由静止开始，小孩沿杆下滑的加速度为重力加速度的，即a=g,则小孩在下滑的过程中，车箱对地面的压力为多少？Mgf图3NfMg图3图1图2mgf按照步骤1，根据题意选择研究对象，并把视为研究对象的物体与其他和他相关联的物体隔离出来。.取向下为正方向取小孩m为研究对象，对其受力分析，得出：受重力mg、摩擦力f,如图2，据牛顿第二定律列出方程：mg-f=ma 接着取木箱M为研究对象，对其受力分析，得出：受重力Mg、地面支持力N及小球给予的摩擦力f如图3据物体平衡条件列出方程：N-f-Mg=0 且f=f 由式得N=g由牛顿第三定律知，木箱对地面的压力大小为N=g.这道题分别隔离人和木箱，采用隔离法，按照步骤，表示出系统的内力，可以“一隔离到底”，但是显然我们利用了一个题目中不要求的内力，虽然也是顺利求解，但略显麻烦。可能这样的“两体问题”，并不会“麻烦很多”，下面我们来看一道典型的“三体问题”。例2在粗糙水平面上有一个质量为M的三角形木块始终相对地面静止，两底角分别为12。在它的两个粗糙斜面上分别放有两个质量m1和m2的小木块，正以a1、a2的加速度沿斜面加速下滑 ，如图4所示，求地面对三角形木块的静摩擦力和支持力。图4分析，这是一道典型的“三体问题”，（在高考范围内，四体问题很少）而且具有代表性的是个物体的运动状态并不相同，这更能体现出隔离法和整体法的区别。按照隔离法的一般步骤：分别隔离三个物体进行受力分析,如图5 N1Mgm1gf1N2f2m2gNN1f1N2f2xyf图5x1x2y2y1分别选取x-y x1-y1 x2-y2 三组正交坐标系，进行正交分解列出三个物体的动力学方程如下：m1动力学方程：将m1重力分别投影到x1，y1得出：m2动力学方程：将m2重力分别投影到x2，y2得出：M动力学方程：将f1f2N1N2分别投影到x,y得出：联立上述6式，解得：可以看出，当系统变成“三体问题”时，相关的内力多达4个，采用隔离法，仍然可以“一隔离到底”，但是很明显，工作量很大，计算很繁琐。因此，如果是内力较少时，可以采用隔离法求解，计算量并不很大，但是要是内力较多时，并不适合首选隔离法，因为这样做会像上例中一样，计算繁琐，工作量又大，又容易出错，那有没有又简便，又省事的方法呢？这时，就体现出另一种物理方法的重要性整体法。 (二)、整体法牛顿第二定律应用物理方法之二整体法在解决牛顿第二定律的实际问题中，有着重要的地位和作用，它往往在某些时候能把问题简单化，明了化，但是学生并不太习惯使用整体法，原因是我们没有在方法应用上加以显化，这就加大了学生掌握方法的难度。下面我们着重在显化整体法上面加以讨论。整体法概念：以整体为研究对象，然后对整体进行研究这种方法称为整体法。对于系统中各物体的加速度各不相同，如在系统中有几个物体加速运动，其质量分别为m1,m2,m3mn,系统所受外力为F，则系统的牛顿第二定律的整体形式为：F=m1a1+m2a2+m3a3+mnan。此式可以正交分解：Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+mnanxFy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+mnany整体法求解的一般步骤：1、根据题意选择系统整体为研究对象。2、对整体进行受力分析， 3、列出整体的动力学方程 4、求解可以看出，整体法在处理问题时，与隔离法最大的不同在于选取研究对象的不同，整体法是以系统为研究对象。这样做，就避开了系统中各物体复杂的内在关系内力作用，使得问题简单明了。下面我们还以隔离法的两个例子，采用“一整体到底的方法”我们看看区别。图1N例1、如图1所示，质量为M的车箱放在水平面上，木箱中的立杆上有一个质量为m的小孩，开始时小孩在杆的顶端，由静止开始，小孩沿杆下滑的加速度为重力加速度的，即a=g,则小孩在下滑的过程中，车箱对地面的压力为多少？解法二：（整体法）选取整体为研究对象，整体受到车箱和小孩的总重力和地面对整体的支持力。选取竖直向下为正方向，依牛顿第二定律列式：F=m1a1+m2a2+m3a3+mnan（mg+Mg）-N=ma+M0故整体所受支持力：N =g,由牛顿第三定律知：木箱对地面压力N=g.显然这样处理要比隔离法简单，我们再看更能体现整体法优势的第二例：例2在粗糙水平面上有一个质量为M的三角形木块始终相对地面静止，两底角分别为12。在它的两个粗糙斜面上分别放有两个质量m1和m2的小木块，正以a1、a2的加速度沿斜面加速下滑 ，如图4所示，求地面对三角形木块的静摩擦力和支持力。图4以M、m1、m2整体为研究对象，所受外力有：支持力N，摩擦力f以及总重力。在水平方向上，采用整体法牛顿第二定律：取向左为正方向。列出方程：竖直方向上取向上为正方向有：解得：综上所述，对于系统内各物体运动状态不相同的力学问题，在不需求解物体间内力作用时，优先采用整体法应用牛顿第二定律进行求解，从而避免了求解物体内力的麻烦，使求解问题简单清晰。那么，所有的牛顿第二定律的题采用“一隔离到底”或是“一整体到底”都能解决吗？显然答案是否定的，因为隔离法和整体法本来就是相辅相成，互相联系的，下面我们具体讨论必须整体法和隔离法综合运用的情况。(三)、先整体后隔离法牛顿第二定律应用物理方法之三对于系统中各物体的加速度都相同的连接体问题，并且求解内力时，由于在系统中各物体的加速度相同，因此加速度就成为求解内力的桥梁纽带和关键。因此，必须先分析整体的受力情况和运动情况，然后根据牛顿第二定律，求出整体所受外力的某一未知力或加速度。然后将需要求解内力的物体应用隔离法。进行受力分析，然后根据牛顿第二定律，求出相互作用力中的某一个未知力，这类问题则需要先整体后隔离法。先整体后隔离法解题的一般步骤：1以整体为研究对象，进行受力分析2列出整体的动力学方程3解出共同状态的加速度4根据题意隔离系统中需要的物体进行受力分析，5列出各个物体的动力学方程6将共同状态的加速度带入求解。例4如图7所示，已知mA1千克，mB2千克，A、B之间的接触面是粗糙的，B放在光滑的水平面上，将水平拉力F1、F2分别作用在A、B时，A、B总是一起运动，二者始终保持相对静止，求下列三种情况下A所受的静摩擦力。F11N，F20.5NF11N，F22NF11N，F25N解：规定向右为正，是以整体为研究对象，由牛顿第二定律得：再以A为研究对象，由牛顿第二定律，得：F1fmAa，代人数值解得：f05N，负号说明静摩擦力的方向向左。用同样的方法，可求得：f0，说明A不受静摩擦力f1N，说明A受的静摩擦力为向右的1N。这类问题的关键是求解共同的加速度，然后隔离出内力相关的物体（以受力少的物体优先）。这样才能顺利解决问题。那么，如果已知内力求解外力时，当把上述情况反过来处理先隔离后整体法，下面我们看看这个实例。(四)、先隔离后整体法牛顿第二定律应用物理方法之四如果对于系统内各物体运动状态相同的力学问题求解外力时，需要内力作用来求解方程时，则需要先隔离后整体法。先隔离后整体法解题的一般步骤：1、 根据题意隔离系统中需要的物体进行受力分析，2、 列出各个物体的动力学方程3、 解出共同状态的加速度4、 以整体为研究对象，进行受力分析5、 列出整体的动力学方程6、 将共同状态的加速度带入求解。例3如图6所示的三个物体质量分别为m1、m2和m3，带有滑轮的物体放在光滑水平面上，滑轮和所有接触面的摩擦以及绳子的质量均不计，为使三个物体无相对运动，水平推力F等于多少？解析：由于三个物体无相对运动，先隔离m1、m2分别列出它们的动力学方程，求出a。然后列出整体的牛顿第二定律方程求解。分别以m1、m2为研究对象作受力分析，设绳拉力为T。对m1，在水平方向据牛顿第二定律得 T=m1a对m2，在竖直方向由力平衡条件得 T-m2g=0联立上两式得出：由整体在水平方面的受力列出牛顿第二定律为F=(m1+m2+m3)a将 代入上式。得出：上述是牛顿第二定律应用中整体法和隔离法的显化方法，我们应该在教学中明确物理方法，把问题像上述情况合理分类，这样不仅能够学会方法，还能够提高效率，事半功倍。在牛顿第二定律应用的实例中，有些物理状态并不明确，需要找到状态变化的临界状态，我们把这种物理方法叫做临界法，下面我们重点讨论一下。（五）临界法牛顿第二定律应用物理方法之五图4 在牛顿第二定律应用中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。我们叫他临界值。在解决临界值问题时，常碰到所求物理量，物理过程或物理状态的极值与某一临界值有关，所以我们首先可以考虑用临界法求解极值临界法解题的一般步骤：1、 根据题意，分析临界状态物体的受力情况2、 用合适的物理方法解出临界的极值3、 将题中的已知条件和极值对比，判断出物体正确的状态4、 用相应的物理方法求解。例4一个质量为0.2 kg的小球用细线吊在倾角=53的斜面顶端，如图4，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力.解题方法与技巧：当加速度a较小时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力、绳拉力和斜面的支持力作用，绳平行于斜面，当加速度a足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小球受重力和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要图5求a=10 m/s2时绳的拉力及斜面的支持力，必须先求出小球离开斜面的临界加速度a0.（此时，小球所受斜面支持力恰好为零）由mgcot=ma0所以a0=gcot=7.5 m/s2因为a=10 m/s2a0所以小球离开斜面N=0，小球受力情况如图5，则Tcos=ma,Tsin=mg所以T=2.83 N,N=0.牛顿第二定律应用中的临界法的关键在于：找到物体运动状态改变的临界状态，正确分析临界状态的极值，然后根据已知条件计算出结果与极值对比，从而得出正确结论，这类问题在牛顿第二定律中不多，而且处理方法比较单一，知道抓住关键，解决还是比较容易的。可能大家也发现了，前面介绍的方法，或多或少都离不开正交分解，因为牛顿第二定律的难题中受力物体受力的情况都不是共线的，因此有必要把正交分解法也详细介绍一下，毕竟这是众多方法中起到“工具”作用的方法。下面我们通过一道非常典型的立体体会一下。六、正交分解法牛顿第二定律应用物理方法之六正交分解法严格来说是给各个解决牛顿第二定律物理方法提供保障的一种方法，它是基础，掌握不好，其他物理方法也就无从谈起了。求物体所受外力的合力或解物体的平衡问题时，常采用正交分解法。所谓“正交分解法”就是将受力物体所受外力（限同一平面内的共点力）沿选定的相互垂直的x轴和y轴方向分解，然后分别求出x轴方向、y方向的合力Fx、Fy，由于Fx、Fy相互垂直，可方便的求出物体所受外力的合力F（大小和方向）正交分解法的一般步骤1、 选择研究对象进行受力分析2、确定X、Y轴1、 研究对象是静止状态，通常以运动趋势为X 轴2、 研究对象是匀速直线运动状态，通常以运动方向为X 轴3、 研究对象有加速度，通常以加速度方向为X 轴运用正交分解法解题时，x轴和y轴方向的选取要根据题目给出的条件合理选取，即让受力物体受到的各外力尽可能的与坐标轴重合，这样方便解题。3、 利用三角函数分解不在轴上的力4、 列出Fx、Fy ，求出合力下面我们用一道经典的例题分析正交分解法例：质量为M的直角三棱柱A放在光滑地面上，斜面底角为，在其光滑斜面上，放置一个质量为m的滑块B，试求：1、A对地的加速度a12、B对地的加速度a23、B对A的加速度a24、A、B之间的作用力N、N5、地面对A的支持力RMABm采用隔离法，分别分析两个物体受力，并根据加速度方向确定正交坐标系x-y及x-y。MABmNmgNMgRyxyx分别列出A和B的动力学方程矢量式 a1a2a2根据a1、a2、a2的矢量关系并应用余弦定理可以得出：故式又可写成 将式向y轴投影， 式向x轴投影，式向y轴投影，得到三个标量方程：由此三式可解出：最后令向y投影，得到解得：