14例谈目标函数中变量的选择江苏孔祥武.doc

例谈目标函数中变量的选择孔祥武（江苏省常州市第一中学 ， 213003）我们在解析几何中求最值范围时,常常需要构建合适的目标函数,把问题转化为函数的最值问题.解题的关键是分析引起函数值变动的原因，这个原因可能是某条线段的长度变化引起的，可能是某条直线的斜率变化引起的，亦可能是某个点的坐标变化引起的，等等“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的角度看问题，选择不同的变量,会产生繁简不一的方法，因此在解题伊始，我们需要多维度思考,选择合适的变量.下面介绍几个例子来说明问题.1 选择点的坐标作变量例1 （常州市2010年高三调研测试）如图1，在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的左焦点为，右顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线的斜率为，直线MA的斜率为，求的取值范围分析 斜率乘积的变化可看作是由点的坐标变化引起的我们习惯先设点，进而直线与椭圆联立, 解出交点的坐标，可以预见表达式非常复杂；若改变这种既定的顺序，先设点，再求点，则巧妙避开了直线与椭圆联立的繁琐过程 解 （1）椭圆C的标准方程为(过程略) M A P FOx y 图1（2）设点（），点M ， 因为点、P、M三点共线， 所以，即， 故 点M 又， 则= 因为点P在椭圆C上， 所以， 即 =，（）， 则, 所以的取值范围是 值得一提的是选择点的坐标作变量有时带有轨迹的思想,可先求出满足限制条件的点的轨迹方程,然后再求解最值问题.例2 已知圆与轴相交于两点，圆内一动点使、成等比数列，求的范围.分析 向量数量积的变化可看作是由点的坐标变化引起的,同时设坐标入手更容易表达点在圆内的特征和处理向量点乘.解 设点，则 易知,，由成等比数列得 ，即 整理得 , 即 由得 ，所以.2 选择线段的长度作变量例3 求满足条件的三角形的面积最大值. 分析 面积表达式中既含有边又涉及角,需要消元,统一成一个变量来处理.解 设，则 ，根据面积公式得=，根据余弦定理得，=,由三角形三边关系有, 解得，故当时,取得最大值.评注 本题亦可以点的坐标为变量,以的中点建立合适的坐标系,得出的轨迹方程为,然后再求三角形面积最大值.3 选择直线的斜率作变量设直线斜率入手多适用于两直线相互垂直或倾斜角互补,或过定点的动直线等问题.例4 已知圆的方程为,过原点作两条互相垂直的直线，交圆于两点，交圆于两点，求四边形面积的最大值分析 四边形面积的变化可理解为是由直线的斜率变化引起的当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知设直线的方程为，则此时直线为圆心到直线的距离，则弦长，圆心到直线的距离，则弦长，所以,整体观察可发现 (定值), .所以四边形的面积最大值为评注 从数的角度发现定值,联想基本不等式解题是关键.4 选择有向距离作变量有时最值的变化可理解为点到点或点到直线的距离变化引起的.图2我们知道圆的问题要注意几何性质的使用上面例4中仔细观察可发现，图中有一个矩形，且对角线长始终为定值，故可以直接设距离入手解法2 如图2,过作，垂足为;过作，垂足为.易知四边形为矩形，且对角线长始终为定值，设圆心到的距离分别为，则（定值），弦长，弦长，当且仅当，即时取到等号所以四边形的面积最大值为评注 从形的角度发现定值, 更能揭示问题的本质;通过挖掘几何性质,优化了运算过程，而且避免了斜率是否存在的讨论. 例5 已知圆的方程为 ,点，若过点P存在直线与圆交于M，N两点，且点M恰好是线段PN的中点，求实数的取值范围图3分析 很自然想到设直线的斜率,利用直线与圆联立,借住韦达定理来处理线段之间的关系,但这样操作很繁琐.换一个角度来看,点,位置的变化既可理解为是由直线的斜率变化引起的，也可理解为是由点到直线的距离变化引起的，于是产生下面的解法.解 如图3，过作交于，设到直线的距离，线段，为的中点,则,又 所以，由点不重合及知 存在符合条件的直线,即关于的方程在上有解.则，又，即 ， 所以，故的取值范围为评注 解法2抓住图中的两个直角三角形与，直接设线段长度入手来研究线段之间的比值关系，把解几存在性问题转化为相应方程的有解问题.5 选择角度作变量选择角度作变量多适用于点在圆弧或圆上运动,或图形是以三角形构成为主要特征,易于用三角函数表示有关元素的问题.例6 如图4，现在要在一块半径为1,圆心角为的扇形纸板上剪出一个平行四边形，使点在弧上，点在上，点在上，设平行四边形的面积为.来求的最大值.图4解 连接,设,则中,由正弦定理得 ,又到的距离,.,又,则,当,即,取到最大值.我们在选择变量时要克服主观随意,尝试从以上几个角度去思考问题. 变量选不好,吃力不讨好,解题不设计,越做越生气.通过对比分析,方法选择,设计好解题思路,这样才能达到灵活应用,受到事半功倍的效果.注：本文发表于2011年高中数学教与学3月刊。作者简介:孔祥武,江苏省常州市第一中