正交化方法特征值与特征向量ppt课件.ppt

班级：时间：年月日；星期,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,1,友情提示,本次课讲第五章第一、二节，向量组的内积与正交，特征值概念下次课讲第五章第二三节，特征值，相似矩阵与对角化下次上课时交作业P4142,2,2.结论1：任何n个线性无关的n维向量都是向量空间Rn的一个基，由此可知Rn的维数为n.,分析：因为任意n1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论成立。,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,3,4.向量由基线性表示的系数坐标,3.过渡矩阵概念：,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,4,例4:设,验证是R3的一个基，并求在这个基中的坐标.,解,第十二讲：方程组解的解构与向量空间,5,且,第十二讲：方程组解的解构与向量空间,6,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,7,(ii),(iii),第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,8,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,9,2.齐次性,3.三角不等式,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,10,1.正交向量组的概念的引入：,由此可得：,向量的内积满足施瓦茨不等式：,特殊地：零向量与任何向量都正交.,（2）正交向量组定义：如果向量组向量两两正交，则称为正交向量组,三、向量的正交与正交基,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,11,2.正交向量组的性质（无关性）,即,同理可得：,因此向量组线性无关.,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,12,3.如何求与已知向量组正交的向量（组）：,4.正交基,（1）正交基的定义：用正交向量组作向量空间的基，称为向量空间的正交基,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,13,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,14,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,15,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,16,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,而且，由正交化过程，显然A、B两组向量可互相线性表示,17,再把单位化：,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,18,例2已知求一组非零向量使两两正交.,解,都应满足方程，,即,得基础解系：,取,及,及,把基础解系正交化：,取,即为所求.,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,19,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,20,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,21,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,22,亦即,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,23,正交矩阵的性质,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,24,四、特征值与特征向量的概念1.定义：设A是n阶矩阵，如果和n维非零列向量x使关系式：,（1）,成立，那么称数为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值的特征向量.,注意：定义的几个要点（1）A是n阶矩阵，即方阵（2）特征值是数，（3）特征向量x是非零向量,2.如何求特征值与特征向量（1）特征值的求法,第十二讲：基与正交基，特征值