描述液体运动的两种方法及液体运动的基本概念

,3流体动力学理论基础,3.1描述液体运动的两种方法,3.2流体运动的基本概念,3.3恒定总流的连续性方程,3.4恒定总流的能量方程,3.5恒定总流的动量方程,3.1.1拉格朗日法,3.1描述液体运动的两种方法,3.1.2欧拉法,3.1.1拉格朗日法,3.1描述液体运动的两种方法,液体运动有两个特征。一个是“多”，即液体是由众多质点组成的连续介质；另一个是“不同”，即不同液体质点的运动规律各不相同。,因此，液体运动的描述方法与理论力学中刚体运动的描述方法就不可能相同。那么，这就给液体运动的描述带来了困难。,怎样描述整个液体的运动规律呢？,拉格朗日法:质点系法以液体质点作为研究对象，跟踪所有质点，描述其运动过程，即可获得整个液体运动的规律。,设某一液体质点在t=t0占据起始坐标（a，b，c）,（a，b，c，t0）,t0：质点占据起始坐标：（a，b，c）t：质点运动到空间坐标：（x，y，z）,（a，b，c，t0）,（x，y，z，t）,跟踪这个液体质点，得到其运动规律为,改变液体质点的初始坐标（a，b，c)，并跟踪这个液体质点，就可得到另一个液体质点的运动规律。,这样就得到液体整体的运动规律。,反复改变液体质点的初始坐标（a，b，c)，并跟踪不同液体质点，就可得到不同液体质点的运动规律，,现在看看数学上怎么能做到这一点。,（a，b，c，t）=拉格朗日变数,（a，b，c）对应液体微团或液体质点起始坐标,给定（a，b，c），该质点轨迹方程不同（a，b，c），不同质点轨迹方程,因此，用这个公式就可描述液体所有液体质点的运动轨迹。,上式对t求导，得到液体质点的速度,速度对t求导，得到液体质点的加速度,因此，用这些方程就能描述所有液体质点的运动（轨迹、速度和加速度），也就知道了液体整体的运动。,问题,每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点数学上存在难以克服的困难实用上不需要知道每个质点的运动情况,问题,每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点数学上存在难以克服的困难实用上不需要知道每个质点的运动情况,问题,每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点数学上存在难以克服的困难实用上不需要知道每个质点的运动情况,问题,每个液体质点的运动规律都不同，很难跟踪足够多质点。数学上存在难以克服的困难。实用上不需要知道每个质点运动情况，只需要知道关键之处。,质点太多作不到！,数学上困难作不到！,实用上不必要！,一般不用这个方法描述液体的运动，但对于一些特殊问题，要用这个方法，如波浪运动、PIV测速等。,3.1.1拉格朗日法,3.1描述液体运动的两种方法,3.1.2欧拉法,3.1.3用欧拉法表达加速度,欧拉法：流场法核心是研究运动要素的空间分布场,设一些固定空间点，其坐标为（x,y,z)。,考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况，以此了解整个流动在空间的分布。,考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况。这句话包含两层意思：,“考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况”这句话，包含两层意思：研究同一时刻t1、不同固定点（x，y，z）上液体质点的运动，将各固定点的运动信息综合，了解该时刻流场。,“考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情况”这句话，包含两层意思：研究不同时刻的流场，得到不同时刻的流场，如图所示。再将各时刻流场叠加，就可知道各所有固定点在不同时刻、不同质点通过时的流动参数，也就知道了流动中各质点的运动轨迹。,欧拉法：相当于在流场中设置许多固定观察点（x，y，z），对于液体运动的分析可分为（1）流场（2）流场随时间变化通过（1）和（2）综合，可得液体运动的信息。,欧拉法把任何一个运动要素表示为空间坐标（x，y，z）和时间t的函数。,液体质点在t时刻，通过任意空间固定点(x,y,z)时的流速为,式中，(x,y,z,t):欧拉变数(uxuyuz):通过固定点的流速分量,(a,b,c):质点起始坐标t:任意时刻任意时刻(x,y,z):质点运动轨迹坐标空间固定点（不动）,拉格朗日法,欧拉法,欧拉法,欧拉法,液体质点通过任意空间坐标时的加流速,式中，(ax,ay,az)为通过空间点的加速度分量,应用欧拉法研究液体运动的例子地面卫星观测站河流上的水文站,任一物理量,如压强、密度，用欧拉法表示为,一维流动，则,从欧拉法来看，同一时刻不同空间位置上的流速可以不同；同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此，加速度分为,迁移加速度（位变加速度）当地加速度（时变加速度）,迁移加速度（位变加速度）同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度。,当地加速度（时变加速度）同一空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度,图迁移加速度（位变加速度）说明,u2,u1,水面保持恒定,x,同一时刻，沿射流抛射轨迹上，不同位置处流速不同。因此，沿抛射轨迹有位变加速度。,t0,u0,u1,u2,利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间t的函数，则,从数学上分析，利用复合函数求导的方法，将（x,y,z）看成是时间t的函数，则有加速度分量的表达式,时变加速度分量（三项）,位变加速度分量（九项）,对于一维流动u(s,t)，加速度可简化为,u(s,t),3.2.1恒定流与非恒定流,3.2流体运动的基本概念,3.2.2迹线与流线,3.2.4流管、流束、总流、过流断面,3.2.3一元流、二元流、三元流,3.2.5均匀流与非均匀流,3.2.1恒定流和非恒定流,3.2.1.1恒定流,任何运动要素不随时间发生变化的流动，即所有运动要素对时间的偏导数恒等于零。,运动要素之一随时间而变化的流动，即运动要素之一对时间的偏导数不为零。,3.2.1.2非恒定流,河道中水位和流量的变化洪水期中水位、流量有涨落现象非恒定流平水期中水位、流量相对变化不大恒定流,水静力学就是恒定流,容器中液体当容器中液体处于相对平衡恒定流。当容器旋转角速度改变，容器中液体就是变速运动非恒定流。,大海中潮起潮落现象非恒定流,闸门迅速开启时引起的非恒定流,闸门突然关闭时，管道中水流的运动随时间变化,3.2.2迹线和流线,3.2.2.1迹线,液体质点在不同时刻流经的空间点所连成的线，为液体质点运动的轨迹线。这个概念由拉格朗日法引出。,3.2.2.2流线,流线定义流线基本性质,流线定义某瞬时流场中的一条空间曲线，曲线上任一点的切线方向与这一瞬时占据该点的液体质点的速度向量相切。,图流经弯道的流线,绕过机翼剖面的流线,绕突然缩小管道的流线,恒定流时，流线形状和位置不随时间改变,原因：恒定流时，流速向量不随时间改变,流线基本性质,恒定流时，流线与迹线重合,流线不能转折、交叉、分岔,流线形状与边界有关，近边界与边界相似,流线疏密反映流速的大小，疏小密大，那么恒定流中，流线的条数不变,流线不能相交,原因：流线相交点有两个流动方向,“元”是指空间自变量的个数,一元流,运动要素只与一个空间自变量有关,3.3一元流、二元流、三元流,二元流,任何运动要素与两个空间自变量有关，此水流称二元流。,一矩形顺直明渠当渠道很宽，两侧边界影响可忽略不计时，任一点流速与流程s、距渠底铅垂距离z有关，而沿横向y方向,流速几乎不变。,一矩形明渠当宽度由b1突扩为b2时，突变的局部范围内，水流中任一点流速，不仅与断面位置坐标有关，还和坐标y、z有关。,实际上，任何液体流动都是三元流，需考虑运动要素在三个空间坐标方向的变化。,一元流动简化,由于问题非常复杂，数学上求解三维问题的困难，所以水力学中，常用简化方法，尽量减少运动要素的“元“数。,例如，用断面平均流速代替实际流速，把总流视为一元流。水利工程的实践证明，把三维水流简化成一元流，或二元流是可以满足生产需要的，但存在一些问题。,一元流分析法回避了水流内部结构和运动要素的空间分布。,存在的问题,因此，不是所有问题都能简化为一元流，或二元流的。例如，掺气，水流的脉动、水流空化等问题。所以，简化是针对水力学具体问题而言（相对的）。,流管流束总流过水断面,3.4流管、流束、总流、过水断面,一、流管,流管在流场中，任取一个面积A，通过其周界上的每一个点，均可作一条流线。这些流线围成的一个管状曲面，称之为流管。,A,dA,封闭曲线,微小流管,微小流管在流场中，任取一个微分面积dA，通过其周界上的每一个点，均可作一条流线，这样构成的一个管状曲面，称微小流管，或元流管。,流束,充满以流管为边界的一束液流，称流束,充满以微小流管为边界的一束液流，称微小流束,流束,流管中液体不会穿过流管壁向外流，流管外液体不会穿过流管壁向流管内部流动。,恒定流时，流束形状和位置不会随时间改变非恒定流时，流束形状和位置随时间改变,任何一个实际水流都具有一定规模的边界，在边界约束之内的水流，称总流。总流可看成是又无限多个微小流束组成。,总流,与微小流束，或流线，或流速正交的横断面为过水断面，该断面面积用dA或A表示，单位：m2,过水断面,过水断面可能是曲面，或平面。当水流的流线为平行线时，过水断面为平面，否则，就是曲面。,过水断面A,过水断面为曲面,流量过水断面平均流速,单位时间内通过某一过水断面的液体体积为流量，用符号Q表示，有三种表示方法。,体积流量Q（m3/s）,质量流量Q（kg/s）,重量流量Q（N/s）或（kN/s）,体积流量Q（m3/s）,质量流量Q（kg/s）,重量流量Q（N/s）或（kN/s）,在过水断面上，液体质点的流速分布是不均匀的。例如，管道中的流速分布。边壁流速为零，管心最大。整个过水断面上，流速分布是曲面，在剖面上看，流速分布是曲线。,引入断面平均流速使液体运动得到简化（三元流变一维流）。在实际工程中，断面平均流速是非常重要的。,3.2.5均匀流与非均匀流,3.2.5.1均匀流,3.2.5.2非均匀流,1.定义当流线为相互平行的直线时，或流线上各点的流速矢量相同的液流。,3.2.5.1均匀流,2.均匀流的特征,同一流线上不同位置处的流速相等,不同流线上的速度可以不同,z,x,各过水断面的流速分布形状相同、断面平均流速相等。,过水断面上动水压强分布规律与静水压强的分布规律相同。同一过水断面上各点的测压管水头相等，但不同流程的过水断面上，测压管水头不相同。,z2,1-1过水断面,2-2过水断面,z1,C1,C2,C1C2,z2,1-1过水断面,2-2过水断面,z1,C1,C2,C1C2,过水断面为平面，且其形状和尺寸沿程不变。同一流线上不同位置处的流速相等。各过水断面的流速分布形状相同、断面平均流速相等。同一过水断面上各点的测压管水头相等，不同流程的过水断面上，测压管水头不相同。,惯性力有重力、n方向无惯性力,动水压力、重力在垂直于水流方向n的投影为,重力在垂直于水流方向n的投影为,非均匀流:流线不是相互平行的直线的流动。按流线变化的急缓程度，可将非均匀流分为两种类型渐变流（缓变流）急变流,3.2.5.2非均匀流,1渐变流,定义,标准,本质,典型断面,判断,重要特性,流线虽不平行，但接近平行直线；流线之间夹角小，或流线曲率半径较大，均可视为渐变流。渐变流的极限就是均匀流,标准,通过试验比较确定。如果假定的渐变流断面上，动水压强分布近似为静水压强分布规律，并且所求出的动水压力和实际情况（试验）较为吻合，则可视为渐变流断面。,本质,沿流动垂直方向的惯性力，或加速度可忽略不计。例如，离心力。,典型的渐变流过水断面,水箱的来流断面收缩断面,判断,渐变流与水流边界关系密切渐变流：边界平行，或近似平行处的水流急变流：管道转弯断面突然扩大或缩小明渠水面急剧变处,重要特性固体边界约束的渐变流过水断面的动水压强符合静水压强分布规律。,c,c,0,p0=0,v0,水流射入大气中时的渐变流断面，动水压强不服从静水压强分布规律。,o,水流射入一个真空中的渐变流断面，动水压强不服从