微分方程稳定性

数学建模,微分方程专题,part1：微分方程,在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程.在现实社会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.,不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时，可以利用计算机求其数值解)，既使得到其解析解，尚有未知参数需要估计(这时可利用第二章参数估计方法).而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.,一维微分方程模型平衡点的稳定性,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,易知x0也是方程(4-2)的平衡点.(4-2)的通解为,关于x0是否稳定有以下结论：,这个结论对于(4-1)也是成立的.,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,微分方程组的平衡点的稳定性,如果,则称平衡点P0是稳定的.,微分方程组的平衡点的稳定性,下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则.设,则当p0且q0时，平衡点P0是稳定的；当p0或q0时，平衡点P0是不稳定的.,微分方程组的平衡点的稳定性,稳定性模型,建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及分析,在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。,背景,实例：捕鱼业的持续收获,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,r固有增长率,N最大鱼量,h(x)=Ex,E捕捞强度,x(t)渔场鱼量，,产量模型,稳定性判断,x0稳定,可得到稳定产量,x1稳定,渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,图解法,P的横坐标x0平衡点,P的纵坐标h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,产量模型最大产量,效益模型,假设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,稳定平衡点,求E使R(E)最大,渔场鱼量,收入T=ph(x)=pEx,支出S=cE,对于k阶差分方程,F(n;xn,xn+1,xn+k)=0(4-6),若有xn=x(n),满足,F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称xn=x(n)是差分方程(4-6)的解,包含k个任意常数的解称为(4-6)的通解,x0,x1,xk-1为已知时称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解.,差分方程模型,若x0,x1,xk1已知，则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.,若有常数a是差分方程(4-6)的解，即,F(n;a,a,a)=0,则称a是差分方程(4-6)的平衡点.又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解xn=x(n)都有xna(n),则称这个平衡点a是稳定的.,差分方程模型,一阶常系数线性差分方程xn+1+axn=b,(其中a,b为常数，且a-1,0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当|a|1时，b/(a+1)是稳定的平衡点.,差分方程模型,二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.,当r=0时，它有一特解x*=0；当r0，且a+b+10时，它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形，x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2.,差分方程模型,当1,2是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当1,2=是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)n;,则,差分方程模型,当1,2=(cos+isin)是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn+C2sinn).易知，当且仅当特征方程的任一特征根|i|1时,平衡点x*是稳定的.,差分方程模型,对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn),其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,差分方程模型,问题,供大于求,现象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,市场经济中的蛛网模型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,f与g的交点P0(x0,y0)平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0,模型建立,设x1偏离x0,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,蛛网模型,稳定性分析,x1,曲线斜率,稳定性分析,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方程模型,方程模型与蛛网模型的一致,稳定性分析,商品数量减少1单位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,(下时段)供应的增量,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,1.使尽量小，如=0,以行政手段控制价格不变,2.使尽量小，如=0,靠经济实力控制数量不变,结果解释政府干预,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设