《方程的根与函数的零点》教学设计

方程的根与函数的零点教学设计1 教材分析1.1 地位与作用方程的根与函数零点的关系是“函数的应用”这一单元的第一节内容，课标要求“结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。”第三章函数的应用的课程目标之一是“通过本章的学习，使学生学会二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系。”方程的根与函数零点的关系一课的主要教学内容有函数零点的定义和函数零点存在性判定依据，这两者显然是为“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的。而从中学数学内容结构来看，本课的内容也可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。给出函数零点概念的目的是把函数与方程之间联系起来，用函数的观点统领中学代数知识，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下，从这个角度看本节课还应承载建立函数与方程教学思想的任务。1.2对函数零点的定义的解构对于函数y=f(x),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点。教科书把定义解释为：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点。教材严格按照课标要求只体现了函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的解的关系，没有对函数与方程的联系与区别这方面的内容加以阐述，这样的话学生在学习了“函数的零点”这一内容之后，仍然不可能对函数与方程的关系有较明确的认识。教学用书提出：“给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈。之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图象和性质，为理解函数的零点提供了直观认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质。”这虽然是函数与方程的关系中较为表层的东西，也应在函数零点的概念建立的过程有所铺垫。函数的零点，是一个三位一体的概念，从方程的角度看，为相应方程f(x)=0的实数根；从形的角度看，为函数y=f(x)的图像与x轴的交点；从函数与自变量相对应的角度看，就是使函数值为0的实数x，是一个数。方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点。可“析出”转化的数学思想方法，不仅可以让学习者体验到函数与方程的数学思想方法，还明显蕴含着丰富的数形结合的数学思想方法，对型如f(x)=g(x)的方程都划归为f(x)-g(x)=0的形式，并转化为函数F(x)= f(x)-g(x)的零点问题。还可“析出”化归的数学思想方法。教科书选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系，作为本书内容的入口。教材把重点是放在第二个转化，即重在从函数角度来研究方程问题。但如果在教学中把“方程f(x)=0的实数根”有意无意地替换为“解方程f(x)=0”，解方程意味着求方程的所有解，这就把原来的具体单点问题扩大为整体问题，通过两个转化，于是“求零点的个数”问题就产生了，这是对函数的零点概念的过度解构，也是对函数概念外延的过度扩充。导致后续的叫教学行为、学生活动偏离教学主线。1.3对函数零点的存在性判定依据的解构（说定理似乎不妥）如果函数y=f(x)在区间a,b上是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a,b)内有零点，即在c(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。函数零点的存在性判定依据，教材不要求给予证明，一般是通过一定量的具体案例让学生直观感知、操作确认的。教科书安排例1.求函数f(x)=x+2x-6的零点个数。目的似乎是给出一种求在区间（a,b）内单一零点的方法，也是一处函数的应用点（函数的单调性）。函数零点的存在性判定依据加上单调性这一强化条件，确实可以得到在区间（a,b）内有单一零点的结论，与下一节课用二分法求方程近似解有一定的联系。但这一条件过于强化，如果让学生觉得在区间（a,b）内有单一零点函数必须单调，那就成为一种有问题的教学了。事实上，在区间（a,b）内有单一零点函数不一定要单调， “在区间（a,b）内有单一零点函数必须单调”成为一教学陷阱。单一零点的问题应该叙述为：存在区间（a,b），使函数y=f(x)在区间a,b上为单调函数，并且有f(a)f(b)0=00)的根函数y=ax2+bx+c(a0)的图象函数的图象与x轴的交点问题1：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？（幻灯显示）学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备3、一般函数的图象与方程根的关系问题2：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y=2x4，y=2x8，y=ln(x2)，y=(x1)(x2)(x3)，y=x+2x-6比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f(x)=0有几个根，y=f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫（二）辨析讨论，深化概念4、函数零点概念：对于函数y=f(x)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（幻灯显示）即兴练习：函数f(x)=x(x216)的零点为 （ ）A(0，0)，(4，0) B0，4 C(4，0)，(0，0)，(4，0) D4，0，4设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解（板书）说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值求函数零点就是求方程f(x)=0的根5、归纳函数的零点与方程的根的关系问题3：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（板书）（1）联系：数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；存在性一致：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数的零点，从方程的角度看，为相应方程f(x)=0的实数根；从形的角度看，为函数y=f(x)的图像与x轴的交点；从函数与自变量相对应的角度看，就是使函数值为0的实数x，是一个数。（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础练习：求下列函数的零点：（幻灯显示）设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）（三）实例探究，归纳定理6、零点存在性定理的探索（幻灯显示）问题4：在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间a，b上一定有零点？探究：（1）观察二次函数f(x)=x22x3的图象：在区间-2，1上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0（“”）在区间(2，4)上有零点_；f(2)f(4)_0（“”）（2）观察函数的图象：（幻灯显示在区间(a，b)上_(有/无)零点；f(a)f(b) _ 0（“”）在区间(b，c)上_(有/无)零点；f(b)f(c) _ 0（“”）在区间(c，d)上_(有/无)零点；f(c)f(d) _ 0（“”）意图：通过归纳得出零点存在性判定7、零点存在性判定：（板书）一般地，我们有：如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点即存在c(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根（连续即图象能一笔画）即兴练习：1.已知函数f（x）= 3x56x1有如下对应值表：（幻灯显示）x21.5012f（x）109441718107函数y=f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？2.下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f(x)=log2x，x，2； （2）f(x)=ex-1+4x-4，x0，1意图：通过简单的练习适应定理的使用（四）正反例证，辨析判定的成立条件8定理辨析与灵活运用（幻灯显示）例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f(x)在区间a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点（ ）（2）已知函数y=f(x)在区间a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点 （）（3）已知函数y=f(x)在区间a，b满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点（ ）（4）有位同学画了一个图,认为定理不一定成立,你的看法呢?请一位学生板书反例，其他学生补充评析，用投影仪展示学生的成果例如：归纳：对判定的理解,学生互动，教师补充（板书）理解： （1）是个函数；（2）图像在区间a,b上是连续不断的一条曲线；（3）有f(a)f(b)0。（4）判定不能确零点的个数；（5）判定中的“连续不断”是必不可少的条件；（6）不满足判定条件时依然可能有零点意图：通过对判定中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对判定本身的准确理解9、基础自测（1）已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)23971151226那么函数在区间1，6上的零点至少有 （ ） A5个 B4个 C3个 D2个（2）方程x3 3x+ 5=0的零点所在的大致区间为 （ ） A( 2，0) B(0，1) C(0，1) D(1，2)（3）下列函数中在区间1,2上一定有零点的是（ ） A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5 C.f(x)=mx2-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6意图：一方面促进对判定的活用，另一方面为突破后面的例题铺设台阶（五）综合应用，拓展思维10、例题讲解（幻灯显示）例1：求函数f(x)=lnx2x6的零点的个数，并确定零点所在的区间n，n+1(nZ)解法1（借助计算工具）：用计算器x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.67.89.912.114.2由表或图象可知，f(2)0,则f(2)f(3)0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点问题5：如何说明零点的唯一性？又由于函数f(x)在(0，+)内单调递增，所以它仅有一个零点师口述：存在区间（a,b），使函数y=f(x)在区间a,b上为单调函数，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在（a,b）内有单一零点。解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x1234f(x)结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点解法3（函数交点法）：将方程lnx2x6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点意图：通过例题分析，能根据零点存在性判定，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数练习 求方程2-x=x的解的个数，并确定解所在的区间n，n+1(nZ)意图：一方面与引例相呼应，又作为例题方法的巩固，也为下一节信息技术解方程近似解作铺垫（六）总结整理，提高认识（板书）（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间（七）布置作业，独立探究1.试推断是否存在自然数m，使函数f(x)=3-2x在区间（m，m+1）上有零点？若存在，求m的值；若不存在，说明理由2函数f(x)=(x4)(x4)(x2)在区间-5，6上是否存在零点？若存在，有几个？3利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x2)=3；（2）ex-14=4x4结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)=3(x2)(x3)(x4)x设计意图：为下一节用计算机求方程近似解的学习做准备5.3 板书设计311 方程的根与函数的零点三、判定零点的存在性：零点判定的说明：（1）是个函数；（2）图像在区间a,b上是连续不断的一条曲线；（3）有f(a)f(b)0。（4）判定不能确零点的