数学建模幸福感的评价与量化模型.doc

幸福感的评价与量化模型摘 要随着全球经济日益繁荣，在人民物质生活极大程度提高的前提下，幸福指数的评价问题，已成为当今世界广泛讨论和高度重视的问题之一，它属于数学建模中的综合评价问题。而正确的确定影响民众幸福指数的指标体系、确定相应指标的权重和计算民众幸福指数，则能清楚的了解社会运行状况和民众生活状态。问题一，根据题中附表给出的信息，我们采用模糊综合测评的方法确定了因素集和评价等级。并在附表中选取了大量因素，确定了5个一级指标和18二级指标，设定了5个评价等级。先据附表数据利用matlab 软件对各二级指标进行了单因素评判，再利用变异系数法求解各二级指标的权重，最后利用模糊综合测评法得出评判结果。即对网民幸福感的测定结果是，在与附表中调查的幸福程度进行比较，基本符合调查结果，说明我们建立的综合评价体系是合理可行的。在建立指标模型时，我们采用了分值量化的思想，5个评价等级进行了指标量化，利用模糊综合评价体系中的单因素评判，对各二级指标进行了量化，再利用逐级合成的思想，建立了衡量幸福指数的数学模型。问题二，通过调查得到的某地区教师和学生的幸福感数据，先利用问题一建立的模糊综合评价体系，分别求解得到该地区教师和学生对幸福程度评价等级的比率，以及利用该评价等级得到的综合幸福指数，。再利用问题一建立的衡量幸福指数的数学模型求解得到该地区教师和学生的综合幸福指数，。对两种方法得到的综合幸福指数进行比较，我们建立的模型计算得到的综合幸福指数和通过调查数据计算得到的综合幸福指数基本吻合，说明我们建立的模型对该地区的教师和学生幸福感调查同样适用。最后利用层析分析法求解出了影响该地区教师和学生幸福感的主要因素。问题三，通过问题一建立了综合评价体系和衡量幸福指数的模型，又由问题二对我们建立的模型的验证。可见我们建立的模型是可以对调查某地区范围内的幸福感、满意度等问题进行推广的。问题四，通过建立评价体系，建立衡量幸福指数的模型，并通过问题二的验证，我们就得到地结果给相关部门写了一封建议信。关键词 模糊综合评价 变异系数法 幸福指数 指标量化 层次分析法 一、 问题重述幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。如果说GDP、GNP是衡量国富、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为一个衡量百姓幸福感的标准。百姓幸福指数与GDP一样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说,作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”。国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型，可参看附件的参考论文。根据你自己对幸福感的理解，要求完成以下工作：1、附表给出了网上调查的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。2、试查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。3、你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之。4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门(例如政府、或学校管理部门等)写一封短信(1页纸以内)，阐明你对幸福的理解和建议。二、 问题分析2.1问题一的分析根据题中附表给出的信息，我们采用模糊综合测评的方法确定了因素集和评价等级。并在附表中选取了大量因素，确定了5个一级指标和18二级指标，设定了5个评价等级。先据附表数据利用matlab 软件对各二级指标进行了单因素评判，再利用变异系数法求解各二级指标的权重，最后利用模糊综合测评法得出评判结果。即对网民幸福感的测定结果是，在与附表中调查的幸福程度进行比较，基本符合调查结果，说明我们建立的综合评价体系是合理可行的。在建立指标模型时，我们采用了分值量化的思想，5个评价等级进行了指标量化，利用模糊综合评价体系中的单因素评判，对各二级指标进行了量化，再利用逐级合成的思想，建立了衡量幸福指数的数学模型。2.2问题二的分析通过调查得到的某地区教师和学生的幸福感数据，先利用问题一建立的模糊综合评价体系，分别求解得到该地区教师和学生对幸福程度评价等级的比率，以及利用该评价等级得到的综合幸福指数，。再利用问题一建立的衡量幸福指数的数学模型求解得到该地区教师和学生的综合幸福指数，。对两种方法得到的综合幸福指数进行比较，我们建立的模型计算得到的综合幸福指数和通过调查数据计算得到的综合幸福指数基本吻合，说明我们建立的模型对该地区的教师和学生幸福感调查同样适用。最后利用层析分析法求解出了影响该地区教师和学生幸福感的主要因素。2.3问题三的分析通过问题一建立了综合评价体系和衡量幸福指数的模型，又由问题二对我们建立的模型的验证。可见我们建立的模型是可以对调查某地区范围内的幸福感、满意度等问题进行推广的。2.4问题四的分析问题四，通过建立评价体系，建立衡量幸福指数的模型，并通过问题二的验证，我们就得到地结果给相关部门写了一封建议信。三、 模型假设和符号说明3.1模型的假设1)假设所有数据都是合理科学的；2)假设所有问卷调查都是网民真实想法的体现；3.2符号说明-影响因素集合-评价等级-决策矩阵-第i个因素在第j个评价等级上的频率分布-指标中的原始数据转化成用于评价的值-决策矩阵-变异系数-由变异系数得出的指标权数-各个指标的权重矩阵-模糊矩阵-第个一级指标下第个二级指标的指标值-一级指标-二级指标-综合幸福指数四、 模型的建立与求解4.1问题一的求解4.1.1模型准备据附表可知，影响网民幸福指数的各个因素中共有19个指标。我们根据日常积累的经验和通过咨询相关资深专家，选取18个指标划分为五大类,分别是:身心健康、人际交往、自我价值的实现、物质保障、环境舒适度。我们将18项指标进行了分类处理，余下一个指标“您认为自己的幸福程度如何？”，为的是对下文中计算出的幸福指数进行检验。4.1.2模糊综合评价指标体系的建立1.评价指标体系一级指标二级指标评价指标名称指标指标名称指标非常幸福比较幸福一般不太幸福很不幸福身心健康自己是个怎样的人0.120.410.330.120.03生活态度0.140.520.210.100.03工作、学业上的压力0.180.380.340.070.03业余生活0.110.260.480.100.06身体健康状况0.050.360.510.080.01人际交往和家人的关系0.270.450.210.050.02和朋友（同学）的关系0.200.580.160.040.02和邻居的关系0.080.200.410.220.09和同事的关系0.180.590.170.040.02自我价值实现事业发展前途0.130.340.390.090.04工作、学业上的成就0.090.250.420.160.08物质保障社会经济发展状况0.060.210.410.230.10住房条件0.080.220.510.130.06目前的收入0.070.200.240.320.17环境舒适度城市社会治安0.100.310.420.140.04城市环境0.150.200.320.180.15城市生活节奏0.130.340.400.100.02城市出行便利0.190.370.290.100.062.评价方法本体系采用分类模糊综合评价法进行评价，即将评价指标分类，分别由相对的评价人员进行评价，分类评价中又采用模糊综合评价的方法进行，最后进行加权得到总体评价。模糊综合评价法是基于模糊数学模糊集理论，对评价对象作以综合评价的一种方法，它以模糊数学为基础，应用模糊关系合成定理，将一些边界不清、不一定量的因素定量化，通过构造等级模糊子集把反映被评事物的模糊指标进行量化，然后利用模糊变换原理对各个指标进行综合评价的一种方法，它以比较符合教育现象的模糊性，并且能全面的汇集各个评价人员的意见。3.评价指标权重的确定各指标权重的确定是一个重要而又复杂的问题，它反映了各类因素在基于看病评价指标体系中所处的地位。本文采用变异系数法确定指标的权重。这是一种客观赋值的方法，它可以避免主观赋权法带来的主观任意性，得到系统中各因素相应的权重，从而为模糊评价方法中权重集的确定提供有效的方法。采用变异系数法确定各指标的权重，解决了评价系统中仅靠定性分析或逻辑判断而无定量分析和难以做出精确分析的问题。4.1.3利用变异系数法，建立单因素模糊综合评价模型1.确定因素集和设置评价等级。对于网民幸福指数的评价，据附表可将其因素集确定为：分别按身心健康、人际交往状、自我价值的实现、物质保障和环境舒适度五个方面划分n个子因素集：设置评价等级为V=v1,v2,vn,n=1,2,5. 其中(i=1,n)。分别表示“非常满意”、“比较满意”、“基本满意”、“还可以”、“不太满意”、“不满意”。 注：附表共给出19项指标，在测评因素集中只取了18项，余下一个“幸福程度”留作检验最后测定结果的指标。2.确定决策矩阵。若第i（i=1,2,m）个评判因素u，其单因素评判结果为R= ri1,ri2,rin,则m个评判因素的评判决策矩阵为：则在问题一中，可得综合评判决策矩阵为R：3.确定评价因素的权重向量本文采用变异系数法确定指标的权重。这是一种客观赋值的方法，它可以避免主观赋权法带来的主观任意性。具体步骤如下：（1）进行归一化处理对原始数据进行归一化处理，公式为： 效益型指标：成本型指标：其中：经过以上的变化之后，指标中的原始数据转化成用于评价的值，使所有值集中在0，1之间。所有的得到一个决策矩阵：。（2）计算均值。 （3）计算标准差。（4）根据均值和标准差求变异系数。（5）用变异系数确定指标的权数。根据以上步骤计算即可得到各个指标的权重矩阵，其中为各指标的权重值,。则在问题一中，可得权重矩阵W如下（程序见附录二）：W=（0.05 0.07 0.05 0.06 0.08 0.06 0.08 0.05 0.08 0.05 0.05 0.05 0.06 0.03 0.05 0.02 0.06 0.04）4.得出评判结果。 一般来说，同一事物均有多种属性，事物的不同侧面反映了它们的不同特征，所以，在评价事物时，不能只考虑一种因素，而必须兼顾事物的各个方面，因此，为了综合考虑全部因素对评价对象取值的影响，需做模糊综合评价。如果各因素的重要程度一样，也就是权重集中的诸权数均相同，这时，只要将矩阵中各列元素相加，便分别得到评价集中各元素的“得分”多少，若各因素权重不等，则需作模糊矩阵运算: 运用matlab软件计算，归一化处理后得（程序见附录三）：图1可直观反映评判矩阵的评定结果，即，对网民幸福感的测定结果是，13%的网民“非常满意”，36%的网民“基本满意”，34%的网民“还可以”、11%的网民“不太满意”、5%的网民“不满意”。4.1.4建立指标值的量化模型1.指标的分值量化综合相关文献，对主观指标分值量化，可采取51分赋值法。即设计问卷时，对主体题采用诸如“非常满意”、“比较满意” 、“基本满意”、“比较不满意”、 “非常不满意”之类答项并按序排列，分别给予51分的分值，即“非常满意” 为5分， 比较满意为4分，依此类推，非常不满意为1分，由此计算指数值。2.指标值的量化模型对于第个一级指标下第个二级指标的指标值可以加权平均值求出。求各二级指标的指标值的公式如下：用matlab软件计算得到（程序见附录四）：4.1.5建立衡量幸福指数的加权合成模型1.权数的取值鉴于本文构建的指标体系中共有一级5项，二级指标18项，其中二级指标也可称为扩展指标，是为扩大信息量对部分一级指标的进一步扩展。各级指标的权数确定，利用建立的模糊综合评价体系中的确定各指标的变异系数法确定来确定指标的权数。2.指标的合成指标值和权数确定后，将各级指标进行合成，最后测算出总的幸福指数。经验显示，二级指标、一级指标间的叠加效应较明显，用二级指标值合成一级指标值可用加权平均法；再用一级指标利用加权平均法合成幸福指数值。3.加权合成模型利用加权合成的方法，将一级指标和二级指标进行合成，再将一级指标加权合成总的幸福指数,公式如下(程序见附录五)：注：此处的a,b,c,为各二级指标分别占所在的一级指标中的权重。4.1.6模型的求解与检验由题目附表给出的关于“您觉得自己幸福吗”的调查问卷数据如下：选 项内 容得票数1非常幸福2552比较幸福6803一 般6844不太幸福2465很不幸福112根据该表数据，通过利用matlab软件计算得到评价为“非常满意”、“比较满意”、“基本满意”、“还可以”、“不太满意”、“不满意”的比率分别为：0.129,0.344,0.346,0.1244,0.0567。利用分值量化的方法算得综合幸福指数，与我们通过建立评价体系得出的满意度比率：和衡量幸福指数建立的量化模型算得的综合幸福指数比较，误差仅为0.008%，由此说明我们建立的模糊综合评价体系和幸福指数模型的可行性和准确度。4.2问题二的求解对于问题二，要求针对某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数，分别建立数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。首先调查得到某地区所有影响教师和同学幸福指数的因素集，对于教师和学生，由于影响他们的幸福指数因素的侧重不同，所以可以对各个因素分配不同的权重来匹配每个因素对老师和学生幸福指数的影响。根据数据，我们依旧可以模糊综合评价的方法，对影响老师和学生幸福指数的各个因素进行分类为一级指标和二级指标。第一步，仍旧采用变异系数法确定指标的权重和模糊综合评价的方法，分别给出老师和学生的幸福指数；第二步，可以依据各指标因素建立层析分析法的模型分别找出影响老师和学生幸福感的主要因素。4.2.1模型的准备1.教师的幸福指数对于影响教师幸福指数的各个指标的问卷调查中，各个指标的评价集记为非常满意、比较满意 、基本满意、比较不满意、 非常不满意，利用分值量化，其分别对应的数值为5，4,3,2,1。各个指标中对于各个分值的评价用此分值所占的票数除以此指标的总票数而得，从而计算出每个指标的指标值及指标权重，如下表所示（程序见附录六）：一级指标二级指标评价指标名称指标指标名称指标非常幸福比较幸福一般不太幸福很不幸福身心健康生活态度0.090.390.270.110.14工作上的压力0.090.290.260.180.19业余活动0.100.310.200.130.26身体健康状况0.120.300.350.140.10人际交往和家人的关系0.230.390.180.140.07和学校、同事关系0.190.430.180.130.06和邻居的关系0.110.23 0.340.210.11自我价值实现专业素养的评价0.170.280.270.110.17对教师的热爱度0.080.220.220.130.35教学效果0.120.220.350.180.13物质保障目前的收入0.040.230.210.130.39住房条件0.170.290.230.130.18福利待遇0.140.300.270.140.15环境舒适度学校管理0.110.310.260.130.19城市环境0.090.290.430.110.08城市社会治安0.110.270.400.140.09城市出行便利0.110.290.370.130.102.学生的幸福指数对于影响学生幸福指数的各个指标的问卷调查中，各个指标的评价集记为非常满意、比较满意 、基本满意、比较不满意、 非常不满意，其分别对应的数值为5,4,3,2,1。各个指标中对于各个分值的评价用此分值所占的票数除以此指标的总票数而得，从而计算出每个指标的指标值及指标权重，如下表所示（程序见附录七）：一级指标二级指标评价指标名称指标指标名称指标非常满意比较满意基本满意不太满意很不满意身心健康恋爱状况0.570.090.110.110.11生活态度0.130.580.250.020.01学业上的压力0.340.270.200.110.07业余生活0.400.200.230.140.03身体健康状况0.430.340.140.050.05人际交往和家人的关系0.330.560.060.040.01和朋友（同学）的关系0.200.340.360.070.02和老师的关系0.160.410.330.080.02自我价值实现身形、外貌满意度0.090.500.180.200.02学业上的成就0.340.270.200.110.07毕业前途0.230.230.250.270.02未来目标0.110.430.160.180.11物质保障家庭经济状况0.030.290.360.180.15月可支配金额0.060.210.330.210.20环境舒适度城市社会治安0.110.310.260.130.19学校环境0.110.290.370.120.11教学设备完善度0.140.300.270.1470.15出行便利0.110.270.400.140.094.2.2模型的求解1.利用问题一建立的评价体系，可以计算出影响教师幸福感和学生幸福感的各二级指标的权重向量（程序见附录八）：（0.07 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.05 0.04 0.06 0.05 0.07 0.03 0.04 0.05 0.09 0.07 0.07）（0.08 0.09 0.04 0.05 0.07 0.09 0.06 0.06 0.07 0.04 0.04 0.05 0.05 0.04 0.03 0.05 0.03 0.05）2.再利用模糊综合评价计算出教师和学生对幸福感的五个评价等级“非常满意”、“比较满意” 、“基本满意”、“比较不满意”、 “非常不满意”的比率（程序见附录九），归一化处理后结果分别为：（0.12 0.30 0.28 0.14 0.15）（0.23 0.35 0.23 0.11 0.07）3.又利用建立的分值量化的量化模型，根据、求解出五个评价等级“非常满意”、“比较满意” 、“基本满意”、“比较不满意”、 “非常不满意”的综合幸福指数：4.最后利用计算综合幸福指数的加权合成模型，将二级指标进行加权合成为各自的一级指标，再用一级指标加权合成总的综合幸福指数，得到教师和学生的综合幸福指数如下（程序见附录十）：5.通过利用分值量化模型，根据、求解出五个评价等级“非常满意”、“比较满意” 、“基本满意”、“比较不满意”、 “非常不满意”的综合幸福指数,和利用各级加权合成模型，得到教师和学生的综合幸福指数，进行比较，结果证明了我们建立的模型的可行性和准确性。最后得到了该地区教师和学生的综合幸福指数。4.2.3建立层次分析法的模型找出影响教师和学生幸福感的主要因素1.构造判断矩阵层次分析法反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者心目中，它们各占有一定的比例。在本题中，我们对18于学生，采用个二级指标作为准则层，对于老师，采用17个二级指标作为准则层项目。要比较个因子对某因素影响大小，我们采取对因子进行两两比较建立比较矩阵的办法，全部比较结果用矩阵表示。其中的由数字19作为标度，且满足，下表5列出了19标度的含义：表 判断矩阵标度及其含义序号重要性等级赋值1i ，j 两元素同等重要12i元素比j 元素稍重要33i元素比j 元素明显重要54i元素比j 元素强烈重要75i元素比j 元素极端重要96i元素比j 元素稍不重要1/37i元素比j 元素明显不重要1/58i元素比j 元素强烈不重要1/79i元素比j 元素极端不重要1/9注： Cij ,1/2，1/4，1/6，1/8表示重要性等级介于Cij ,1/3，1/5，1/7，1/9。这些数字是根据人们进行定性分析的直觉和判断力而确定的。据此，给出学生和教师的成对比较阵S和T：2.层次排序及一致性检验随机一致性指标RI的数值如表6所示：n123456789101112131415161718RI000.60.91.11.21.31.41.451.51.51.51.51.581.591.591.61.61表6 随机一致性指标RI的数值经matlab计算可得：=0.13 0.16 0.02 0.03 0.08 0.16 0.06 0.06 0.08 0.02 0.02 0.03 0.03 0.02 0.01 0.03 0.01 0.03，=18.84，=0.05，RI=1.61。 故，=0.030.1 通过一致性检验。=0.08 0.02 0.03 0.05 0.08 0.13 0.03 0.02 0.05 0.03 0.08 0.01 0.02 0.03 0.17 0.08 0.08=17.31，=0.02，RI=1.61。故，=0.01 A=229 813 657 228 50;276 1028 411 201 61;359 744 665 140 69;. 210 506 943 200 118;95 714 999 159 10;538 898 411 94 36;. 391 1153 319 73 41;157 400 812 429 179;348 1168 341 71 49;. 265 677 780 185 70;184 492 839 311 151;122 412 807 447 189;. 168 431 1016 253 109;134 405 482 626 330;190 607 825 270 85;. 300 398 627 354 298;262 673 793 205 44;369 724 579 189 116;for i=1:18; j=1:5; R(i,j)=A(i,j)./sum(A(1,:);endformat bankRR = 0.12 0.41 0.33 0.12 0.03 0.14 0.52 0.21 0.10 0.03 0.18 0.38 0.34 0.07 0.03 0.11 0.26 0.48 0.10 0.06 0.05 0.36 0.51 0.08 0.01 0.27 0.45 0.21 0.05 0.02 0.20 0.58 0.16 0.04 0.02 0.08 0.20 0.41 0.22 0.09 0.18 0.59 0.17 0.04 0.02 0.13 0.34 0.39 0.09 0.04 0.09 0.25 0.42 0.16 0.08 0.06 0.21 0.41 0.23 0.10 0.08 0.22 0.51 0.13 0.06 0.07 0.20 0.24 0.32 0.17 0.10 0.31 0.42 0.14 0.04 0.15 0.20 0.32 0.18 0.15 0.13 0.34 0.40 0.10 0.02 0.19 0.37 0.29 0.10 0.06附录二 R=0.12 0.41 0.33 0.12 0.03 0.14 0.52 0.21 0.10 0.03 0.18 0.38 0.34 0.07 0.03 0.11 0.26 0.48 0.10 0.06 0.05 0.36 0.51 0.08 0.01 0.27 0.45 0.21 0.05 0.02 0.20 0.58 0.16 0.04 0.02 0.08 0.20 0.41 0.22 0.09 0.18 0.59 0.17 0.04 0.02 0.13 0.34 0.39 0.09 0.04 0.09 0.25 0.42 0.16 0.08 0.06 0.21 0.41 0.23 0.10 0.08 0.22 0.51 0.13 0.06 0.07 0.20 0.24 0.32 0.17 0.10 0.31 0.42 0.14 0.04 0.15 0.20 0.32 0.18 0.15 0.13 0.34 0.40 0.10 0.02 0.19 0.37 0.29 0.10 0.06;x=mean(R); %均值s=std(R); %标准差t=s./x; %变异系数W=t./sum(t) %权向量W = Columns 1 through 9 0.05 0.07 0.05 0.06 0.08 0.06 0.08 0.05 0.08 Columns 10 through 18 0.05 0.05 0.05 0.06 0.03 0.05 0.02 0.06 0.04附录三 W=0.05 0.07 0.05 0.06 0.08 0.06 0.08 0.05 0.08 0.05 0.05 0.05 0.06 0.03 0.05 0.02 0.06 0.04;R=0.12 0.41 0.33 0.12 0.03 0.14 0.52 0.21 0.10 0.03 0.18 0.38 0.34 0.07 0.03 0.11 0.26 0.48 0.10 0.06 0.05 0.36 0.51 0.08 0.01 0.27 0.45 0.21 0.05 0.02 0.20 0.58 0.16 0.04 0.02 0.08 0.20 0.41 0.22 0.09 0.18 0.59 0.17 0.04 0.02 0.13 0.34 0.39 0.09 0.04 0.09 0.25 0.42 0.16 0.08 0.06 0.21 0.41 0.23 0.10 0.08 0.22 0.51 0.13 0.06 0.07 0.20 0.24 0.32 0.17 0.10 0.31 0.42 0.14 0.04 0.15 0.20 0.32 0.18 0.15 0.13 0.34 0.40 0.10 0.02 0.19 0.37 0.29 0.10 0.06; B=W*RB = 0.13 0.36 0.34 0.11 0.05附录四 R=0.12 0.41 0.33 0.12 0.03 0.14 0.52 0.21 0.10 0.03 0.18 0.38 0.34 0.07 0.03 0.11 0.26 0.48 0.10 0.06 0.05 0.36 0.51 0.08 0.01 0.27 0.45 0.21 0.05 0.02 0.20 0.58 0.16 0.04 0.02 0.08 0.20 0.41 0.22 0.09 0.18 0.59 0.17 0.04 0.02 0.13 0.34 0.39 0.09 0.04 0.09 0.25 0.42 0.16 0.08 0.06 0.21 0.41 0.23 0.10 0.08 0.22 0.51 0.13 0.06 0.07 0.20 0.24 0.32 0.17 0.10 0.31