数值计算方法总结

数值计算方法总结,数值计算方法的一般概念,解线性代数方程组的直接法,插值法与最小二乘法,数值微积分,方程与方程组的迭代解法,第1章数值计算方法的一般概念,定义算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤.,1.1算法,描述算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。,具有的特征正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现计算结果可靠,第1章数值计算方法的一般概念,稳定性计算过程中的误差能得到控制，各步误差对计算结果不致产生过大的影响,1.1算法,计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。,收敛性通过增加计算量，能使近似计算解充分接近理论解,第1章数值计算方法的一般概念,1.2误差,定义误差是指近似值与真正值之差,误差分类,第1章数值计算方法的一般概念,1.2误差,绝对误差绝对误差：是指近似值与真正值之差或差的绝对值，即,设,为真值,为真值的近似值,绝对误差界：用一个满足的数,来表示绝对误差的大小，并记为,第1章数值计算方法的一般概念,1.2误差,相对误差相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值，即,相对误差界：用一个满足的数,来表示相对误差的大小，并记为,相对误差界常用百分数表示,第1章数值计算方法的一般概念,1.2误差,准确数字,第1章数值计算方法的一般概念,1.2.3数据误差影响的估计,第1章数值计算方法的一般概念,1.2.3数据误差影响的估计,这些系数的绝对值称为求y问题的条件数，其值很大时的问题称为坏条件问题或病态问题凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。,应避免相近数相减,小除数和大乘数,第1章数值计算方法的一般概念,1.2.3数据误差影响的估计,第2章解线性代数方程的直接法,求解n阶线性代数方程组,写成矩阵形式为,直接法指的是不计舍入误差时,通过有限次算术运算能求得准确解的方法,第2章解线性代数方程的直接法,2.1高斯消去法,2.1.1基本步骤,高斯消去法步骤,1.消去经过n-1步将方程组化为同解的上三角形方程组,2.回代按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解,将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现,第2章解线性代数方程的直接法,2.1高斯消去法,2.1.2运算量估计,高斯消去法运算量估计,1.消去算法运算量,2.回代运算量,第2章解线性代数方程的直接法,2.1高斯消去法,2.1.3选主元技术,第2章解线性代数方程的直接法,2.2三角分解法,2.2.1杜里特尔分解法,高斯消去法的消去过程,实质上是把系数矩阵A分解为单位下三角矩阵L与上三角矩阵R的乘积,并且求解方程组Ly=b的过程,回代过程是求解上三角形方程组Rx=y,第2章解线性代数方程的直接法,2.2三角分解法,2.2.1杜里特尔分解法,分解A=LR,且L为单位下三角阵,R为上三角阵,称为杜里特尔(Dollittlse)分解.使用杜里特尔分解求解方程组Ax=b或L(Rx)=b,相当于求两个方程组Ly=b,Rx=y,运算量,第2章解线性代数方程的直接法,2.2三角分解法,2.2.2克洛特分解法,此分解称为克洛特(Crout)分解,计算公式,第2章解线性代数方程的直接法,2.2三角分解法,2.2.3追赶法,第2章解线性代数方程的直接法,2.2三角分解法,2.2.3追赶法,第2章解线性代数方程的直接法,2.2三角分解法,2.2.4平方根法,第2章解线性代数方程的直接法,2.3舍入误差对解的影响,2.3.1向量和矩阵的范数,第2章解线性代数方程的直接法,2.3舍入误差对解的影响,2.3.1向量和矩阵的范数,第2章解线性代数方程的直接法,2.3舍入误差对解的影响,2.3.1向量和矩阵的范数,第2章解线性代数方程的直接法,2.3舍入误差对解的影响,2.3.2舍入误差对解的影响,第3章插值法与最小二乘法,3.1拉格朗日插值法,3.1.1插值多项式的概念,使用以上方法求函数近似式的方法称为插值法,满足条件(3-3)的插值多项式是存在且唯一的,第3章插值法与最小二乘法,3.1拉格朗日插值法,3.1.2插值多项式的截断误差,这种误差不考虑舍入误差，称为截断误差,第3章插值法与最小二乘法,3.1拉格朗日插值法,3.1.3拉格朗日插值多项式,第3章插值法与最小二乘法,3.1拉格朗日插值法,3.1.3拉格朗日插值多项式,第3章插值法与最小二乘法,3.1拉格朗日插值法,3.1.3拉格朗日插值多项式,计算插值多项式的值,若计算的插值点在节点之外,则称为外推或外插,若计算的插值点在节点之间,则称为内插,内插的误差较小,外插的误差较大,误差公式由R(x)得到,第3章插值法与最小二乘法,3.2添节点与导数的插值法,3.2.1牛顿插值多项式,为使其满足插值条件(3-3),只需满足方程组,因此,可得,第3章插值法与最小二乘法,3.2添节点与导数的插值法,3.2.1牛顿插值多项式,第3章插值法与最小二乘法,3.2添节点与导数的插值法,3.2.1牛顿插值多项式,差商表,第3章插值法与最小二乘法,3.2添节点与导数的插值法,3.2.2逐次线性插值法,第3章插值法与最小二乘法,3.2添节点与导数的插值法,3.2.2逐次线性插值法,列维尔算法表,第3章插值法与最小二乘法,3.2添节点与导数的插值法,3.2.3带导数的插值多项式,第3章插值法与最小二乘法,3.3分段插值与样条函数插值法,3.3.1高次插值多项式的缺陷,第3章插值法与最小二乘法,3.3分段插值与样条函数插值法,3.3.2分段低次插值法,第3章插值法与最小二乘法,3.3分段插值与样条函数插值法,3.3.3三次样条函数插值法,第3章插值法与最小二乘法,3.3分段插值与样条函数插值法,3.3.3三次样条函数插值法,第3章插值法与最小二乘法,3.3分段插值与样条函数插值法,3.3.3三次样条函数插值法,样条插值函数,优点:在节点加密时,它和它的导函数能在整个插值区间上充分靠近被插函数,缺点:为求M或m表达式,需形成方程组并进行求解,第3章插值法与最小二乘法,3.4最小二乘法,第3章插值法与最小二乘法,3.4最小二乘法,第3章插值法与最小二乘法,第4章数值微积分,4.1数值积分法,第4章数值微积分,4.1数值积分法,4.1.1近似函数积分法,第4章数值微积分,4.1数值积分法,4.1.1近似函数积分法,第4章数值微积分,4.1数值积分法,4.1.1近似函数积分法,第4章数值微积分,4.1数值积分法,以上方法是取定步长h算积分的方法,称为定步长积分法,4.1.2复化求积公式,第4章数值微积分,4.1数值积分法,4.1.3变步长积分法,第4章数值微积分,4.1数值积分法,4.1.4龙贝格积分法,第4章数值微积分,4.1数值积分法,4.1.5待定系数法与高斯型求积公式,第4章数值微积分,4.1数值积分法,4.1.5待定系数法与高斯型求积公式,定义,第4章数值微积分,4.1数值积分法,4.1.5待定系数法与高斯型求积公式,广义皮亚诺定理,第4章数值微积分,4.2数值微分法,4.2.1近似函数求导法,第4章数值微积分,4.2数值微分法,4.2.1近似函数求导法,第4章数值微积分,4.2数值微分法,4.2.1近似函数求导法,第5章方程和方程组的迭代解法,5.1方程求根法,5.1.1试探法与二分法,第5章方程和方程组的迭代解法,5.1方程求根法,5.1.1试探法与二分法,第5章方程和方程组的迭代解法,5.1方程求根法,5.1.1试探法与二分法,第5章方程和方程组的迭代解法,5.1方程求根法,5.1.2简单迭代法,第5章方程和方程组的迭代解法,5.1方程求根法,5.1.2简单迭代法,几何意义,简单迭代收敛定理,第5章方程和方程组的迭代解法,5.1方程求根法,5.1.2简单迭代法,第5章方程和方程组的迭代解法,5.1方程求根法,5.1.4牛顿迭代法,第5章方程和方程组的迭代解法,5.1方程求根法,5.1.4牛顿迭代法,5.2线性方程组的迭代解法,求解n阶线性代数方程